1
Niezbędny i wystarczający warunek wspólnego MGF dla niezależności
Załóżmy, że mam funkcję generującą moment połączony dla wspólnego rozkładu z CDF . Czy jest koniecznym i wystarczającym warunkiem niezależności i ? Sprawdziłem kilka podręczników, w których wspomniałem tylko o konieczności:MX,Y(s,t)MX,Y(s,t)M_{X,Y}(s,t)FX,Y(x,y)FX,Y(x,y)F_{X,Y}(x,y)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)MX,Y(s,t)=MX,Y(s,0)⋅MX,Y(0,t)M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)XXXYYY FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)⟹MX,Y(s,t)=MX(s)⋅MY(t)FX,Y(x,y)=FX(x)⋅FY(y)⟹MX,Y(s,t)=MX(s)⋅MY(t)F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t) Ten wynik jest oczywisty, ponieważ niezależność implikuje . Ponieważ MGF marginesów są określone …