Co to jest stacjonarny proces drugiego rzędu?

Zastanawiałem się, jak zdefiniowano jego „stacjonarny proces drugiego rzędu” we Wstępie do szeregów czasowych i prognoz Brockwella i Davisa :

Klasa modeli liniowych szeregów czasowych, która obejmuje klasę modeli autoregresyjnej średniej ruchomej (ARMA), stanowi ogólne ramy do badania procesów stacjonarnych. W rzeczywistości każdy stacjonarny proces drugiego rzędu jest albo procesem liniowym, albo może zostać przekształcony w proces liniowy przez odjęcie elementu deterministycznego. Wynik ten znany jest jako rozkład Wolda i omówiono go w rozdziale 2.6.

W Wikipedii ,

Przypadek stacjonarności drugiego rzędu powstaje, gdy wymagania ścisłej stacjonarności stosuje się tylko do par zmiennych losowych z szeregów czasowych.

Ale myślę, że książka ma inną definicję niż Wikipedia, ponieważ książka używa skrótowości stacjonarnej dla stacjonarności szerokokątnej, podczas gdy Wikipedia używa stacjonarności skrótowej dla ścisłej stacjonarności.

Dziękuję i pozdrawiam!

Może występować pewne pomieszanie terminów w zależności od tego, czy przymiotnik drugiego rzędu jest uważany za modyfikację procesu stacjonarnego lub losowego (lub obu!). Niektórym ludziom

• Drugiego rzędu procesem losowym jest taka, dla której jest ograniczony (w istocie ograniczone) dla wszystkich . Dla nas inżynierów elektryków, którzy stosują (lub źle stosują!) Losowe modele procesów w badaniu sygnałów elektrycznych, jest miarą średniej mocy dostarczanej w czasie przez sygnał stochastyczny, a więc wszystkie fizycznie obserwowalne sygnały są modelowane jako procesy drugiego rzędu. Zauważ, że w ogóle nie wspomniano o stacjonarności i te procesy drugiego rzędu mogą, ale nie muszą, być stacjonarne.$\{X_t \colon t \in \mathbb T\}$$E[X_t^2]$$t \in \mathbb T$$E[X_t^2]$$t$

• Losowy proces, który jest stacjonarny dla rzędu , który możemy (ale być może nie powinniśmy) nazwać stacjonarnym losowym procesem drugiego rzędu, pod warunkiem, że zgadzamy się, że drugi rząd modyfikuje stacjonarny, a nie losowy proces , dla którego jest zbiór liczb rzeczywistych, który jest zamykany podczas dodawania, a łączny rozkład zmiennych losowych i (gdzie zależy od ale nie od . Jak pokazuje link podany przez AO, losowy proces stacjonarny na zamówienie$2$$\mathbb T$$X_t$$X_{t+\tau}$$t, \tau \in \mathbb T)$$\tau$$t$$2$nie muszą być ściśle stacjonarne. Nie jest to również proces szeroko rozumiany stacjonarny, ponieważ nie ma gwarancji, że jest skończony: rozważ na przykład ściśle stacjonarny proces, w którym są niezależnymi zmiennymi losowymi Cauchy'ego.$E[X_t^2]$$X_t$

• Losowy proces drugiego rzędu (oznaczający skończoną moc jak w pierwszej pozycji powyżej), który jest stacjonarny co najmniej do rzędu jest szeroko rozumiany-stacjonarny.$2$

OK, więc taka jest perspektywa z innego zestawu użytkowników teorii losowych procesów. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz na przykład moją odpowiedź na dsp.SE.

Stacjonarne drugiego rzędu to słabe stacjonarne lub kowariancyjne stacjonarne. Zobacz następujący fragment z Time Series Analysis, J. Hamilton (1994) str. 108

Zgaduję, że to to samo, co „słabo stacjonarne”. Oznacza to, że wszystkie (dla wszystkich i dowolnego mają takie same macierze oczekiwań i kowariancji, ale niekoniecznie taki sam rozkład.k l $(x_k,\dots,x_{k-l})$$k$$l)$