Odpowiedzi:
Niech (odpowiednio. ) oznacza dolną (względnie górną) granicę możliwej do uzyskania korelacji między i . Granice i są osiągane, gdy i są odpowiednio przeciwmotoniczne i comonotoniczne (patrz tutaj ).
Dolna granica
Aby wyznaczyć dolną granicę konstruujemy parę przeciwmotonicznych zmiennych wykładniczych i obliczamy ich korelację.
Niezbędny i wystarczający warunek wymieniony tutaj oraz całka prawdopodobieństwa transformacji zapewniają wygodny sposób konstruowania zmiennych losowych i taki sposób, że są one przeciwmotoniczne.
Przypomnij sobie, że funkcją rozkładu wykładniczego jest , więc funkcją kwantylu jest .X 2 F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - q )
Niech będzie równomiernie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi, następnie jest również równomiernie rozmieszczony, a zmienne losowe mają rozkład wykładniczy odpowiednio ze współczynnikiem i . Ponadto są przeciwmotoniczne, ponieważ i , a funkcje i odpowiednio zwiększają i zmniejszają.1 - U X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) ,λ 1 λ 2 X 1 = h 1 ( U ) X 2 = h 2 ( U ) h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log ( 1 - x ) h 2 ( x ) = - λ - 1
Teraz obliczmy korelację i . Według właściwości rozkładu wykładniczego mamy , , i . Mamy też gdzieX 2 E ( X 1 ) = λ - 1 1 E ( X 2 ) = λ - 1 2 v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 v a r ( X 2 ) = λ - 2 2 E ( X 1 X 2 )
Tak więc Zauważ, że dolna granica nie zależy od stawek i , i że korelacja nigdy nie osiąga , nawet gdy oba marginesy są równe (tj. gdy ).
Górna granica
Aby wyznaczyć górną granicę stosujemy podobne podejście z parą komonotonicznych zmiennych wykładniczych. Teraz niech i gdzie
i , które zwiększają funkcje. Zatem te losowe zmienne są comonotoniczne i rozkładają się wykładniczo ze współczynnikami i .
Mamy a zatem Podobnie jak dolna granica, górna granica nie zależy od stawek i .