Osiągalne korelacje dla wykładniczych zmiennych losowych

Jaki jest zakres możliwych do uzyskania korelacji dla pary wykładniczo rozkładanych zmiennych losowych i , gdzie to parametry stawki? $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$ $\lambda_1, \lambda_2 > 0$

correlation exponential

— QuantIbex
źródło

To pytanie jest powiązane z bocznym komentarzem tutaj .

— QuantIbex,

Niech $\rho_{\min}$ (odpowiednio. $\rho_{\max}$ ) oznacza dolną (względnie górną) granicę możliwej do uzyskania korelacji między $X_1$ i $X_2$ . Granice $\rho_{\min}$ i $\rho_{\max}$ są osiągane, gdy $X_1$ i $X_2$ są odpowiednio przeciwmotoniczne i comonotoniczne (patrz tutaj ).

Dolna granica
Aby wyznaczyć dolną granicę konstruujemy parę przeciwmotonicznych zmiennych wykładniczych i obliczamy ich korelację. $\rho_{\min}$

Niezbędny i wystarczający warunek wymieniony tutaj oraz całka prawdopodobieństwa transformacji zapewniają wygodny sposób konstruowania zmiennych losowych i taki sposób, że są one przeciwmotoniczne. Przypomnij sobie, że funkcją rozkładu wykładniczego jest , więc funkcją kwantylu jest . $X_1$ $X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ $F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Niech będzie równomiernie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi, następnie jest również równomiernie rozmieszczony, a zmienne losowe mają rozkład wykładniczy odpowiednio ze współczynnikiem i . Ponadto są przeciwmotoniczne, ponieważ i , a funkcje i odpowiednio zwiększają i zmniejszają. $U\sim U(0, 1)$ $1-U$

X_{1} = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - U), and X_{2} = - λ_{2}^{- 1} \log (U)

$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

X_{1} = h_{1} (U)

$X_1 = h_1(U)$

X_{2} = h_{2} (U)

$X_2 = h_2(U)$

h_{1} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - x)

$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$

h_{2} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (x)

$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Teraz obliczmy korelację i . Według właściwości rozkładu wykładniczego mamy , , i . Mamy też gdzie $X_1$ $X_2$ ${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ ${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$ ${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ ${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) f_{U} (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - \frac{π^{2}}{6}), \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$

f_{U} (u) \equiv 1

$f_U(u) \equiv 1$ jest funkcją gęstości standardowego rozkładu jednostajnego. Ostatnią równość polegałem na WolframAlpha .

Tak więc Zauważ, że dolna granica nie zależy od stawek i , i że korelacja nigdy nie osiąga , nawet gdy oba marginesy są równe (tj. gdy ).

\begin{aligned} ρ_{min} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - π^{2} / 6) - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 - π^{2} / 6 \approx - 0.645. \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

- 1

$-1$

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$

Górna granica
Aby wyznaczyć górną granicę stosujemy podobne podejście z parą komonotonicznych zmiennych wykładniczych. Teraz niech i gdzie i , które zwiększają funkcje. Zatem te losowe zmienne są comonotoniczne i rozkładają się wykładniczo ze współczynnikami i . $\rho_{\max}$ $X_1 = g_1(U)$ $X_2 = g_2(U)$ $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

Mamy a zatem Podobnie jak dolna granica, górna granica nie zależy od stawek i .

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (1 - U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} {\log (1 - u)}^{2} d u \\ = 2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{max} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

— QuantIbex
źródło

Dziękuję za twoje obliczenia. Chciałem tylko dodać, że można było znaleźć natychmiast, zauważając, że i są tego samego typu: ma rozkład , tj. taki sam rozkład .

ρ_{m a x} = 1

$\rho_{max}=1$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

\frac{λ_{1}}{λ_{2}} X_{1}

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X_1$

E x p (λ_{2})

$Exp(\lambda_2)$

X_{2}

$X_2$

— user48713,

(+1). Zauważ, że górna granica jest oczywista po zaobserwowaniu dwóch zmiennych wykładniczych różniących się tylko współczynnikiem skali. Jest równie oczywiste, że dolna granica nie może osiągnąć gdy (w przeciwnym razie skośność wynosiłaby zero).

- 1

$-1$

λ_{1} \neq λ_{2}

$\lambda_1\ne\lambda_2$

— whuber