Niezbędny i wystarczający warunek wspólnego MGF dla niezależności

Załóżmy, że mam funkcję generującą moment połączony dla wspólnego rozkładu z CDF . Czy jest koniecznym i wystarczającym warunkiem niezależności i ? Sprawdziłem kilka podręczników, w których wspomniałem tylko o konieczności: $M_{X,Y}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y)$ $M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$

F_{X, Y} (x, y) = F_{X} (x) \cdot F_{Y} (y) ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t)

$F_{X,Y}(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) \implies M_{X,Y}(s,t)=M_X(s) \cdot M_Y(t)$

Ten wynik jest oczywisty, ponieważ niezależność implikuje . Ponieważ MGF marginesów są określone przez wspólną MGF, mamy: $M_{X,Y}(s,t)=\mathbb{E}(e^{sX+tY})=\mathbb{E}(e^{sX}) \mathbb{E}(e^{tY})$

X, Y independent ⟹ M_{X, Y} (s, t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$X,Y\text{ independent} \implies M_{X,Y}(s,t)=M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Ale po przeszukaniu Internetu znalazłem tylko przelotne odniesienie, bez dowodu, do rozmowy . Czy wykonalny jest poniższy szkic?

Biorąc pod uwagę wspólne MGF , to jednoznacznie określa krańcowe rozkłady i i ich MGF, i . Same marginesy są kompatybilne z wieloma innymi możliwymi rozkładami połączeń i jednoznacznie określają rozkład połączeń, w którym i są niezależne, z CDF i MGF: $M_{X,Y}(s,t)$ $X$ $Y$ $M_X(s)=M_{X,Y}(s,0)$ $M_Y(t)=M_{X,Y}(0,t)$ $X$ $Y$ $F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y)=F_X(x) \cdot F_Y(y)$

M_{X, Y}^{ind} (s, t) = M_{X} (s) \cdot M_{Y} (t) = M_{X, Y} (s, 0) \cdot M_{X, Y} (0, t)

$M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t) = M_X(s) \cdot M_Y(t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$

Więc jeśli otrzymamy, dla naszego oryginalnego MGF, że , to jest to wystarczające, aby pokazać . Następnie, dzięki wyjątkowości MGF, nasza pierwotna wspólna dystrybucja ma oraz i są niezależne. $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}(s,0)⋅M_{X,Y}(0,t)$ $M_{X,Y}(s,t) = M_{X,Y}^{\text{ind}}(s,t)$ $F_{X,Y}(x,y) = F_{X,Y}^{\text{ind}}(x,y) = F_X(x) \cdot F_Y(y)$ $X$ $Y$

— Silverfish
źródło

Tak, jest to niezbędny i wystarczający warunek niezależności nie tylko dla dwóch zmiennych losowych, ale także dla (skończonej) sekwencji zmiennych losowych. Sprawdź na przykład P.2 na stronie 242 Prawdopodobieństwa z zastosowaniami statystycznymi , autor: Rinaldo B. Schinazi. Lub strona 259 ekonometrycznej analizy danych zliczania, która jest oparta na funkcji generowania prawdopodobieństwa. Pamiętaj tylko, że „funkcja generowania momentu nie zawsze istnieje”.

— Stat
źródło

Dzięki za solidne referencje. Tak, starałem się stwierdzić, że oryginalny MGF został podany na początku i starałem się pamiętać, aby wykazać, że jakikolwiek inny MGF, o którym mówiłem, istniał w konsekwencji, zanim cokolwiek z tym zrobiłem! Jakie strategie dowodowe zastosowano w twoich referencjach?

— Silverfish,

Czy czytałeś akapit tuż po P2 w moim pierwszym źródle?

— Stat

Ach tak - jest to rozszerzenie mojego sugerowanego dowodu na wektory. Porównaj MGF danego rozkładu z MGF, jeżeli składniki były niezależne; ponieważ są one takie same, a MGF jednoznacznie określają rozkład połączeń, rozkład połączeń jest niezależny.

— Silverfish,