Jak działają kaskadowe sekcje biquad dla filtrów wyższego rzędu?

Próbuję zaimplementować filtr IIR 8. rzędu, a każda notka aplikacji i podręcznik, który przeczytałem, mówi, że najlepiej jest zaimplementować dowolny filtr rzędu więcej niż 2 jako sekcje drugiego rzędu. Użyłem tf2sosw MATLAB, aby uzyskać współczynniki dla sekcji drugiego rzędu, co dało mi współczynniki 6x4 dla 4 sekcji drugiego rzędu, zgodnie z oczekiwaniami. Przed wdrożeniem jako SOS filtr 8. rzędu wymagał zapisania 7 poprzednich wartości próbek (a także wartości wyjściowych). Teraz, kiedy wdrażam jako sekcje drugiego rzędu, w jaki sposób przepływ działa od wejścia do wyjścia, czy muszę przechowywać tylko 2 poprzednie wartości próbek? A może wyjście pierwszego filtra jest przesyłane jak x_indo drugiego filtra i tak dalej?

To ostatnia rzecz, którą powiedziałeś („A może wyjście pierwszego filtra przesyła się jako x_in do drugiego filtra i tak dalej?”). Pomysł jest prosty: traktujesz biquady jako osobne filtry drugiego rzędu, które są kaskadowo. Sygnał wyjściowy z pierwszego filtra jest wejściem do drugiego i tak dalej, więc linie opóźniające są rozłożone między filtry. Jeśli potrzebujesz zoptymalizować strukturę w środowisku ograniczonym pamięcią, możesz zauważyć, że sąsiednie biquady mają nadmiarową pamięć opóźnień (tj. Kilka ostatnich próbek wyjściowych etapu 1 jest takich samych, jak kilka ostatnich próbek wejściowych etapu 2, więc nie nie będą musiały przechowywać ich osobno, tak jak w przypadku samodzielnego wdrożenia filtrów).

Istnieją dwa sposoby implementacji sekcji drugiego rzędu: równoległy i szeregowy. W wersji szeregowej dane wyjściowe sekcji N są wejściami do sekcji N + 1. W wersji równoległej wszystkie sekcje mają takie same dane wejściowe (i tylko jedno rzeczywiste zero zamiast sprzężonej złożonej pary zer), a dane wyjściowe każdej sekcji są po prostu sumowane. Te dwie metody są powiązane przez częściowe rozszerzenie ułamka funkcji przenoszenia w domenie Z. OSTRZEŻENIE: jest to trudny numerycznie problem, a standardowa implementacja Matlaba „reszz” może mieć bardzo duże błędy numeryczne dla typowych filtrów audio, które mają bieguny blisko koła jednostki.

Oto trochę kodu demonstracyjnego, który pokazuje, dlaczego lepiej jest kaskadować sekcje drugiego rzędu.

clc

sr = 44100;
order = 13;

[b,a] = butter(order,1000/(sr/2),'low');
[sos] = tf2sos(b,a);

x = [1; zeros(299,1)]; %impulse


% all in one
Y = filter(b,a,x);

% cascaded biquads
Z = x;
for nn = 1:size(sos,1);
    Z = filter(sos(nn,1:3),sos(nn,4:6), Z );
end


cla; plot(Y, 'k'); hold on; plot(Z,':r'); hold off

W przypadku filtra dolnoprzepustowego podanego w powyższym przykładzie, rzędu około 12 do 13, błędy numeryczne narastają, aby dać wyraźnie inną odpowiedź impulsową dla implementacji, która nie wykorzystuje kaskadowych biquadów. W zależności od filtra twój przebieg będzie się różnić.

ZAMÓWIENIE = 10

ZAMÓWIENIE = 13