3
Niezależność statystyki od rozkładu gamma
Niech będzie losową próbką z rozkładu gamma .X1,...,XnX1,...,XnX_1,...,X_nGamma(α,β)Gamma(α,β)\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right) Niech i będą odpowiednio średnią próbną i wariancją próbki.X¯X¯\bar{X}S2S2S^2 Następnie udowodnij lub obal, że i są niezależne.X¯X¯\bar{X}S2/X¯2S2/X¯2S^2/\bar{X}^2 Moja próba: Ponieważ , musimy sprawdzić niezależnośćS2/X¯2=1n−1∑ni=1(XiX¯−1)2S2/X¯2=1n−1∑i=1n(XiX¯−1)2S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2 X¯X¯\bar{X}i , ale jak mam ustalić niezależność między nimi?(XiX¯)ni=1(XiX¯)i=1n\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}