Niezależność statystyki od rozkładu gamma

Niech będzie losową próbką z rozkładu gamma .$X_1,...,X_n$$\mathrm{Gamma}\left(\alpha,\beta\right)$

Niech i będą odpowiednio średnią próbną i wariancją próbki.$\bar{X}$$S^2$

Następnie udowodnij lub obal, że i są niezależne.$\bar{X}$$S^2/\bar{X}^2$

---

Moja próba: Ponieważ , musimy sprawdzić niezależność$S^2/\bar{X}^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i}{\bar{X}}-1\right)^2$$\bar{X}$i , ale jak mam ustalić niezależność między nimi?$\left(\frac{X_i}{\bar{X}} \right)_{i=1}^{n}$

Jest uroczy, prosty, intuicyjnie oczywisty pokaz dla całki$\alpha.$ Opiera się tylko na dobrze znanych właściwościach rozkładu jednolitego, rozkładu gamma, procesach Poissona i zmiennych losowych i wygląda następująco:

1. Każdy to czas oczekiwania na wystąpienie punktów procesu Poissona.$X_i$$\alpha$

2. Suma jest zatem czasem oczekiwania na wystąpienie punktów tego procesu. Nazwijmy te punkty$Y = X_1+X_2+\cdots + X_n$$n\alpha$$Z_1, Z_2, \ldots, Z_{n\alpha}.$

3. Zależnie od pierwsze punkty są niezależnie równomiernie rozmieszczone między a$Y$$n\alpha-1$$0$$Y.$

4. Dlatego też stosunki są niezależnie równomiernie rozmieszczone równomiernie między a W szczególności ich rozkłady nie zależą od$Z_i/Y,\ i=1,2,\ldots, n\alpha-1$$0$$1.$$Y.$

5. W konsekwencji dowolna (mierzalna) funkcja jest niezależna od$Z_i/Y$$Y.$

6. Wśród takich funkcji są (gdzie wsporniki Oznaczmy statystyki zamówienie z ).

   $$\eqalign{X_1/Y &= Z_{[\alpha]}/Y\\ X_2/Y &= Z_{[2\alpha]}/Y - Z_{[\alpha]}/Y\\ \ldots\\ X_{n-1}/Y &= Z_{[(n-1)\alpha]}/Y - Z_{[(n-2)\alpha]}/Y\\ X_n/Y &= 1 - Z_{[(n-1)\alpha]}/Y}$$ $[]$$Z_i$

W tym momencie po prostu zauważ, że można zapisać jawnie jako (mierzalną) funkcję i dlatego jest on niezależny od$S^2/\bar X^2$$X_i/Y$$\bar X = Y/n.$

Chcesz udowodnić, że to znaczy $\bar{X}$ i $n$ rv.s $X_i/\bar{X}$ są niezależne lub równoważne od sumy $U := \sum X_i$ i $n$ stosunki $W_i := X_i / U$są niezależne. Możemy udowodnić nieco bardziej ogólny wynik, zakładając, że$X_i$ mieć możliwie różne kształty $\alpha_i$, ale w tej samej skali $\beta>0$ co można założyć $\beta = 1$.

Rozważ wspólną transformację Laplace'a $U$ i $\mathbf{W}=[W_i]_{i=1}^n$ to znaczy,

$$\psi(t,\,\mathbf{z}) := \text{E}\{\exp[-tU - \mathbf{z}^\top \mathbf{W}\} = \text{E}\left\{ \exp\left[-t \sum_i X_i - \sum_i z_i \,\frac{X_i}{U} \right] \right\}$$ Wyraża się to jako $n$-wymiarowa całka ponad $(0, \infty)^n$
$$%% \psi(t,\,\mathbf{z} = \text{Cst} \, \int \exp \left[- (1 + t)(x_1 + \dots + x_n) - \frac{z_1 x_1 + \dots + z_n x_n}{x_1 + \dots + x_n} \right] \, x_1 ^{\alpha_1 - 1} \dots \, x_n^{\alpha_n - 1} \text{d}\mathbf{x}$$ gdzie stała jest względem $\mathbf{x}$. Jeśli wprowadzimy nowe zmienne pod znakiem integralnym przez ustawienie $\mathbf{y} := (1 + t)\, \mathbf{x}$, widzimy łatwo, że całka może być zapisana jako iloczyn dwóch funkcji, z których jedna zależy od $t$ drugi w zależności od wektora $\mathbf{z}$. To świadczy o tym$U$ i $\mathbf{W}$ są niezależne.

Zastrzeżone . To pytanie odnosi się do twierdzenia Lukacsa o niezależności od sumy proporcjonalnej , stąd artykuł Eugene Lukacsa Charakterystyka rozkładu gamma . Właśnie wyodrębniłem tutaj odpowiednią część tego artykułu (mianowicie s. 324), z pewnymi zmianami w notacjach. Zastąpiłem także użycie funkcji charakterystycznej transformacją Laplace'a, aby uniknąć zmian zmiennych obejmujących liczby zespolone.

Pozwolić $U=\sum_i X_i$. Zauważ, że$(X_i /U)_i$ jest pomocniczą statystyką $\beta$, tj. jego dystrybucja nie zależy od $\beta$.

Od $U$ jest kompletną wystarczającą statystyką dla $\beta$, jest niezależny od $(X_i /U)_i$ według twierdzenia Basu, więc wniosek jest następujący.

Nie jestem pewien budowy dodatkowej statystyki, ponieważ jest ona tylko niezależna $\beta$, nie $\alpha$.