Czy z możemy stwierdzić, że są niezależne?

Cóż, nie możemy zobaczyć, na przykład https://en.wikipedia.org/wiki/Subindependence dla interesującego kontrprzykładu. Ale prawdziwe pytanie brzmi: czy jest jakiś sposób na wzmocnienie tej kondycji, aby nastąpiła niezależność? Na przykład, czy istnieje jakiś zestaw funkcji więc jeśli dla wszystkich to nastąpi niezależność? A jak duży musi być taki zestaw funkcji, nieskończony? $g_1, \dotsc, g_n$ $\E g_i(X) g_j(Y) =\E g_i(X) \E g_j(Y)$ $i,j$

A poza tym, czy jest jakieś dobre odniesienie do tego pytania?

— kjetil b halvorsen
źródło

czy miałeś z tym jakieś szczęście? Chciałbym zobaczyć, czy istnieje skończony zestaw funkcji, który działa dla dowolnej pary RV, a szczególnie uzasadnienie jest czymś innym niż faktoryzacja CDF

— jl

Zapoznam się z tym! Wątpię, czy ogólnie istnieje zbiór skończony, ale każdy zbiór, który jest podstawą liniowego zestawu funkcji powinien zrobić (tak na przykład, jeśli oba mają wartości w a następnie a zestaw liniowo niezależne wielomianów (lub innych) działa powinni robić.

X, Y

$X, Y$

0, 1, 2, \dots, n

$0,1,2,\dotsc,n$

n + 1

$n+1$

— Kjetil b HALVORSEN

Niech będzie przestrzenią prawdopodobieństwa. Z definicji dwie losowe zmienne są niezależne, jeśli ich -algebras i są niezależne, tj. mamy . $(\Omega, \mathscr F, P)$ $X, Y :\Omega \to \mathbb R$ $\sigma$ $S_X := \sigma(X)$ $S_Y := \sigma(Y)$ $\forall A \in S_X, B \in S_Y$ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Niech i weźmy (dzięki @grand_chat za wskazanie, że wystarczy). Następnie mamy i $g_a(x) = I(x \leq a)$ $G = \{g_a : a \in \mathbb Q\}$ $\mathbb Q$

E (g_{a} (X) g_{b} (Y)) = E (I (X \leq a) I (Y \leq b)) = E (I (X \leq a, Y \leq b)) = P (X \leq a \cap Y \leq b)

$E\left(g_a(X)g_b(Y)\right) = E(I(X \leq a)I(Y \leq b)) = E(I(X \leq a, Y \leq b)) = P(X \leq a \cap Y \leq b)$

E (g_{a} (X)) E (g_{b} (Y)) = P (X \leq a) P (Y \leq b) .

$E(g_a(X))E(g_b(Y)) = P(X \leq a)P(Y \leq b).$

Jeśli założymy, że , możemy odwołać się do twierdzenie , aby pokazać, że tj . $\forall a, b \in \mathbb Q$

P (X \leq a \cap Y \leq b) = P (X \leq a) P (Y \leq b)

$P(X \leq a \cap Y \leq b) = P(X \leq a)P(Y \leq b)$

π - λ

$\pi-\lambda$

P (A \cap B) = P (A) P (B) \forall A \in S_{X}, B \in S_{Y}

$P(A \cap B) = P(A)P(B) \hspace{5mm} \forall A \in S_X, B \in S_Y$

X ⊥ Y

$X \perp Y$

Tak więc, chyba że popełniłem błąd, mamy przynajmniej policzalną kolekcję takich funkcji, a dotyczy to każdej pary zmiennych losowych zdefiniowanych na wspólnej przestrzeni prawdopodobieństwa.

— jld
źródło

Co właściwie pokazałeś? Chociaż zdefiniowałeś niezliczoną liczbę funkcji, gdzie wykazałeś, że wszystkie są potrzebne? Trudno sobie wyobrazić, że taka ilość funkcji byłaby konieczna, gdy i mają na przykład skończone zestawy możliwych wartości.

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

@ Whuber Próbowałem odpowiedzieć na pytanie, czy w ogóle istnieje taki zbiór funkcji. Zgadzam się, że bardziej interesującym aspektem jest znalezienie takiego minimalnego zestawu (który wciąż pracuję na)

— JLD

Możesz zredukować do policzalnego zestawu, rozważając po prostu racjonalne .

G

$G$

a

$a$

— grand_chat

@grand_chat świetny punkt, zaktualizowałem

— 19.18