2
Załóżmy że . Pokaż
Jak najłatwiej sprawdzić, czy poniższe stwierdzenie jest prawdziwe? Załóżmy że . Pokaż .Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y1,…,Yn∼iidExp(1)Y_1, \dots, Y_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(1)∑ni=1(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)∑i=1n(Yi−Y(1))∼Gamma(n−1,1)\sum_{i=1}^{n}(Y_i - Y_{(1)}) \sim \text{Gamma}(n-1, 1) Zauważ, że .Y(1)=min1≤i≤nYiY(1)=min1≤i≤nYiY_{(1)} = \min\limits_{1 \leq i \leq n}Y_i Przez X∼Exp(β)X∼Exp(β)X \sim \text{Exp}(\beta) oznacza to, że fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}fX(x)=1βe−x/β⋅1{x>0}f_{X}(x) = \dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta} \cdot \mathbf{1}_{\{x > 0\}} . Łatwo zauważyć, że Y(1)∼Exponential(1/n)Y(1)∼Exponential(1/n)Y_{(1)} …