Przedstawiam tutaj to, co zostało zasugerowane w komentarzach @jbowman.
Niech stała . Niech podąży za i rozważ . Następniea ≥ 0YjaExp (1)Zja= Yja- a
Pr ( Zja≤ zja∣ Yja≥ a ) = Pr ( Yja- a ≤ zja∣ Yja≥ a )
⟹Pr ( Yja≤ zja+ a ∣ Yja≥ a ) = Pr ( Yja≤ zja+ a , Yja≥ a )1 - Pr ( Yja≤ a )
⟹Pr ( a ≤ Yja≤ zja+ a )1 - Pr ( Yja≤ a )= 1 - e- zja- a- 1 + e- ami- a= 1 - e- zja
która jest funkcją dystrybucji .Exp (1)
Opiszmy to: prawdopodobieństwo, że rv spadnie w określonym przedziale (licznik w ostatnim wierszu), biorąc pod uwagę, że przekroczy dolną granicę przedziału (mianownik), zależy tylko od długość interwału, a nie w miejscu, w którym ten interwał jest umieszczony na linii rzeczywistej. Exp (1)Jest to wcielenie właściwości „bez pamięci ” rozkładu wykładniczego, tutaj w bardziej ogólnym ustawieniu, bez interpretacji czasu (i ogólnie dotyczy rozkładu wykładniczego)
Teraz, kondycjonowania w zmusić być nieujemne, a co najważniejsze, otrzymany wynik posiada . Możemy więc stwierdzić, co następuje: { Yja≥ a }Zja∀ a ∈ R.+
Jeśli , to . Yja∼ Exp (1)∀ Q ≥ 0 : Zja= Yja- Q ≥ 0 ⟹ Zja∼ Exp (1)
Czy możemy znaleźć które może swobodnie przyjmować wszystkie nieujemne wartości rzeczywiste i dla których wymagana jest nierówność (prawie na pewno)? Jeśli możemy, możemy zrezygnować z argumentu warunkowego. Q ≥ 0
I rzeczywiście możemy. Jest to statystyka minimalnego rzędu , , . Więc uzyskaliśmyQ = Y( 1 )Pr ( Yja≥ Y( 1 )) = 1
Yja∼ Exp (1)⟹Yja- Y( 1 )∼ Exp (1)
To znaczy że
Pr ( Yja- Y( 1 )≤ yja- y( 1 )) = Pr ( Yja≤ yja)
Jeśli więc struktura probabilistyczna pozostanie niezmieniona, jeśli statystykę minimalnego rzędu, wynika z tego, że zmienne losowe i gdzie niezależne, są również niezależne, ponieważ możliwy związek między nimi, nie ma wpływu na strukturę probabilistyczną.YjaZja= Yja- Y( 1 )Zjot= Yjot- Y( 1 )Yja, YjotY( 1 )
Zatem suma zawiera iid zmiennych losowych (i zero), i tak∑ni = 1( Yja- Y( 1 ))n - 1 Exp (1)
∑i = 1n( Yja- Y( 1 )) ∼ Gamma ( n - 1 , 1 )