Co to znaczy powiedzieć, że wydarzenie „wydarzy się w końcu”?

Rozważmy jednowymiarowy losowy spacer po liczbach całkowitych $\mathbb{Z}$ o stanie początkowym $x\in\mathbb{Z}$ :

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

gdzie przyrosty $\xi_i$ są IID takie, że $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ .

Można udowodnić, że (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

gdzie indeks dolny oznacza pozycję początkową.

Niech będzie czasem pierwszego przejścia do podania . Innymi słowy, . Można również udowodnić, że (2) $\tau$ $+1$ $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Oba dowody można znaleźć w http://galton.uchicago.edu/~lalley/Courses/312/RW.pdf . Czytając artykuł, rozumiem oba dowody.

Moje pytanie dotyczy jednak znaczenia słowa „ostatecznie” w pierwszym stwierdzeniu, a także w ogóle. Jeśli coś stanie się „w końcu”, nie musi to nastąpić w ograniczonym czasie, prawda? Jeśli tak, to jaka naprawdę jest różnica między czymś, co się nie wydarza, a czymś, co się nie dzieje „w końcu”? Stwierdzenia (1) i (2) w pewnym sensie są mi sprzeczne. Czy istnieją inne takie przykłady?

EDYTOWAĆ

Po prostu chcę dodać motywację do pytania, tj. Prosty przykład czegoś, co dzieje się „w końcu”, ale ze skończonym oczekiwanym czasem oczekiwania.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Dlatego wiemy, że Walker będzie „w końcu” ruch w lewo, a oczekiwany czas oczekiwania przed tym zakresie (tj ruchu w lewo) jest . $1/(1/2)=2$

Widzenie czegoś, co dzieje się „w końcu”, ale z nieskończonym oczekiwaniem „czasu oczekiwania”, było dość trudne dla mojej wyobraźni. Druga połowa odpowiedzi @ whuber jest kolejnym doskonałym przykładem.

— Ye Tian
źródło

nie oznacza ostatecznie w skończonym czasie. Właśnie to jest kontrastowane: P jest skończone, podczas gdy oczekiwanie na tau jest nieskończone

— seanv507

Istnieje kanoniczny przykład dystrybucji Cauchy'ego en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Tak, chociaż średnia rozkładu Cauchy'ego jest raczej niezdefiniowana niż nieskończona (średnia próbki z Cauchy'ego DBN będzie przeskakiwać, gdy

zbliży się do nieskończoności, a nie stopniowo zbiega do + Nieskończoności). Myślałem o rozkładzie Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), który ma średnią = Nieskończoność, gdy jego parametr kształtu

a jednocześnie ma dobrze zdefiniowaną funkcję rozkładu prawdopodobieństwa.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF dzięki - powinienem był powiedzieć Pareto

— seanv507

W tym wszystkim jest pewien komfort: jeśli

, to

, ale nie na odwrót.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

Odpowiedzi:

Jak pokazałbyś wydarzenie „w końcu się wydarzy”? Przeprowadziłbyś eksperyment myślowy z hipotetycznym przeciwnikiem. Twój przeciwnik może cię wyzwać dowolną liczbą dodatnią . Jeśli potrafisz znaleźć (która najprawdopodobniej zależy od ), dla którego szansa zdarzenia wydarzy się w czasie $p$ $n$ $p$ $n$ wynosi co najmniej , wygrywasz. $1-p$

W tym przykładzie „ ” jest wprowadzającą w błąd notacją, ponieważ używasz go zarówno w odniesieniu do jednego stanu losowego marszu, jak i do całego samego losowego marszu. Uważajmy na rozróżnienie. „ Ostatecznie osiąga ” ma oznaczać podzbiór zbioru wszystkich losowych spacerów . Każdy spacer ma nieskończenie wiele kroków. Wartość w czasie wynosi . „ osiąga do czasu ” odnosi się do podzestawu spacerów, które osiągnęły stan $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ $\Omega$ $1$ do czasu . Rygorystycznie jest to zestaw $n$

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

W odpowiedzi na wyimaginowanego przeciwnika wykazujesz trochę o tej właściwości $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Bo jest arbitralne, masz dostępne wszystkie elementy zestawu $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Przypomnij sobie, że wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończony dla którego , więc nie ma żadnych nieskończonych liczb w tym związku.) $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ $S \in \Omega_{1,n}$

Twoja zdolność do wygrania gry pokazuje, że prawdopodobieństwo tego związku jest większe niż wszystkie wartości postaci , bez względu na to, jak małe może być . W związku z tym prawdopodobieństwo to wynosi co najmniej $1-p$ $p\gt 0$ $1$ a zatem wynosi . Udowodnisz to $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Jednym prostym sposobem na docenienie różnicy między „wydarzeniem w końcu” a posiadaniem nieskończonego oczekiwanego czasu pierwszego przejścia jest rozważenie prostszej sytuacji. Dla dowolnej liczby naturalnej niech będzie sekwencją $n$ $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

w których zer następuje po nieskończonym ciągu jedności. Innymi słowy, są to spacery, które pozostają u źródła i w pewnym (skończonym) czasie przechodzą do punktu , a następnie pozostają tam na zawsze. $n$ $1$

Niech będzie zbiorem wszystkich tych z dyskretną algebrą sigma. Przypisz miarę prawdopodobieństwa za pomocą $\Omega$ $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Zostało to zaprojektowane, aby szansa na skok do do czasu równa się , co oczywiście zbliża się arbitralnie do . Wygrasz grę. Skok w końcu się zdarzy, a kiedy to nastąpi, nastąpi w pewnym skończonym czasie. Jednak oczekiwany czas, w którym to nastąpi, jest sumą funkcji przeżycia (która daje szanse, że nie skoczy w tym czasie $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ ), $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

który się rozbiera. Wynika to z faktu, że istnieje stosunkowo duże prawdopodobieństwo, że trzeba długo czekać na skok.

— Whuber
źródło

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

@jpm Nie sprowadza się to tylko do argumentu : jest to argument epsilon-delta. W tym przypadku „delta” to „

n

$n$ ”i„ epsilon ”jest napisane”

p

$p$ "Jako przypomnienie, że jest to prawdopodobieństwo. Chodzi o to, w skończoności z

n

$n$ : limity są zdefiniowane w kategoriach wartości skończonych i operacji skończonych, a nie nieskończonych.

— whuber

Dziękuję anonimowemu użytkownikowi za sugestię użycia underbracew opisie

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$ .

— whuber

To, że coś się w końcu dzieje, oznacza, że w pewnym momencie to się dzieje, ale istnieje konotacja, że nie odnosi się to do żadnego określonego określonego czasu, przed którym to nastąpi. Jeśli powiesz, że coś wydarzy się w ciągu trzech tygodni, jest to mocniejsze stwierdzenie niż to, że stanie się to w końcu. To, że tak się stanie, ostatecznie nie określa czasu, takiego jak „trzy tygodnie” lub „trzydzieści miliardów lat” lub „jedna minuta”.

— Michael Hardy
źródło