Jaki jest stosunek rozkładu równomiernego i normalnego?

Niech podąża za rozkładem jednolitym, a za rozkładem normalnym. Co można powiedzieć o ? Czy istnieje dla tego dystrybucja? $X$ $Y$ $\frac X Y$

Stwierdziłem, że stosunek dwóch normalnych do średniej zero to Cauchy.

— rrpp
źródło

Dla tego, co jest warte, rozkład nazywa się rozkładem ukośnika . Nie wiem, czy odwrotność ma nazwę czy formę zamkniętą.

Y / X

$Y/X$

— David J. Harris

A większa klasa, do której należą obie, wydaje się być rozkładem proporcji !

— Nick Stauner

@ DavidJ.Harris Całkiem tak; +1. Widziałem slash używany kilka razy w badaniach odporności. Może - jako odwrócony ukośnik - należy nazwać „ rozkładem ukośnika odwrotnego ”.

X / Y

$X/Y$

— Glen_b

@rrpp Czy masz na myśli standardowy , czy ogólny ? Jeśli to drugie, to musimy wiedzieć, czy , itd.

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

U n i f o r m (a, b)

$Uniform(a,b)$

a > 0

$a>0$

a < 0

$a<0$

— wilki

dziękuję wszystkim za odpowiedzi. @wolfies is a ma dodatnią średnią

X

$X$

U n i f o r m (0, 1)

$Uniform(0,1)$

Y

$Y$

— rrpp

Odpowiedzi:

Niech zmienna losowa z pdf : $X \sim \text{Uniform}(a,b)$ $f(x)$

gdzie założyłem (zagnieżdżone jest standardowe ). [Różne wyniki zostaną uzyskane, jeśli powie się parametr , ale procedura jest dokładnie taka sama. ] $0<a<b$ $\text{Uniform}(0,1)$ $a<0$

Następnie pozwól i niech z pdf : $Y \sim N(\mu, \sigma^2)$ $W=1/Y$ $g(w)$

Następnie szukamy pdf produktu , powiedzmy , który podaje: $V = X*W$ $h(v)$

gdzie m użyciu mathStatica jest TransformProductfunkcja zautomatyzować Nitty-gritties i gdzie Erfoznacza funkcję błędu: http://reference.wolfram.com/language/ref/Erf.html

Wszystko gotowe.

Działki

Oto dwie wykresy pdf:

Wykres 1: , , ... i ... $\mu = 0$ $\sigma = 1$ $b = 3$ $a = 0, 1, 2$

Wykres 2: , , , $\mu = {0,\frac12,1}$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Czek Monte Carlo

Oto szybkie sprawdzenie Monte Carlo w przypadku 2, aby upewnić się, że nie wystąpiły błędy: , , ,
$\mu = \frac12$ $\sigma = 1$ $a=0$ $b = 1$

Niebieska linia to empiryczny pdf Monte Carlo, a czerwona linia przerywana to teoretyczny pdf powyżej. Wygląda w porządku :) $h(v)$

— wilki
źródło

Można znaleźć rozkład podstawie pierwszych zasad, gdzie i . Rozważ funkcję skumulowanego prawdopodobieństwa : $Z=\frac{X}{Y}$ $X\sim U[0,1]$ $Y \sim N(\mu,\sigma^2)$ $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) = P (\frac{X}{Y} \leq z)

$F_Z(z) = P(Z\le z) = P\left(\frac{X}{Y} \le z \right)$

Rozważ dwa przypadki i . Jeśli , to . Podobnie, jeśli to . $Y>0$ $Y<0$ $Y>0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \le zY$ $Y<0$ $\frac{X}{Y}\le z\implies X \ge zY$

Teraz wiemy . Aby znaleźć powyższe prawdopodobieństwo, rozważ przypadki i . $-\infty<Z<\infty$ $z>0$ $z<0$

Jeśli , prawdopodobieństwo można wyrazić jako całkowanie rozkładu połączeń w pokazanym poniżej obszarze. (używając nierówności) $z>0$ $(X,Y)$

Region integracji

Więc gdzie jest funkcją rozkładu .

F_{Z} (z) = \int_{0}^{1} \int_{x / z}^{\infty} f_{Y} (y) d y d x + \int_{0}^{1} \int_{- \infty}^{0} f_{Y} (y) d y d x

$F_Z(z) = \int_0^1 \int_{x/z}^\infty f_Y(y) dy dx + \int_0^1 \int_{-\infty}^0 f_Y(y) dy dx$

f_{Y} (y)

$f_Y(y)$

Y

$Y$

Znajdź funkcję rozkładu , różnicując powyższe. $Z$

\begin{aligned} f_{Z} (z) & = \frac{d}{d z} \int_{0}^{1} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial z} [F_{Y} (\infty) - F_{Y} (\frac{x}{z})] d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{z^{2}} f_{Y} (\frac{x}{z}) d x \\ = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{2 π} σ z^{2}} \exp (- \frac{{(\frac{x}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}) d x \end{aligned}

$\begin{align*} f_Z(z) &= \frac{d}{dz}\int_0^1 \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{\partial}{\partial z} \left[ F_Y(\infty) - F_Y\left(\frac{x}{z}\right) \right] dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{z^2} f_Y\left(\frac{x}{z}\right) dx \\ &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma z^2} \exp \left( - \frac{\left( \frac{x}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2} \right) dx \end{align*}$

Całka powyżej może być oceniona przy użyciu następującej sekwencji transformacji:

Niech $u=\frac{x}{z}$
Niech $v=u-\mu$
Podziel wynikową całkę na dwie całki, jedną z tylko w postaci wykładniczej, a drugą z pomnożoną przez wykładniczą. $v$ $v$

Otrzymane całki można uprościć, uzyskując

f_{Z} (z) = \frac{σ}{\sqrt{2 π}} [\exp (\frac{- μ^{2}}{2 σ^{2}}) - \exp (\frac{- {(\frac{1}{z} - μ)}^{2}}{2 σ^{2}})] + μ [Φ (\frac{\frac{1}{z} - μ}{σ}) - Φ (\frac{- μ}{σ})]

$f_Z(z) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\left[ \exp\left(\frac{-\mu^2}{2\sigma^2}\right)-\exp\left(\frac{-\left(\frac{1}{z}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right) \right] + \mu \left[ \Phi\left(\frac{\frac{1}{z}-\mu}{\sigma}\right)-\Phi\left(\frac{-\mu}{\sigma}\right) \right]$

Tutaj jest funkcją skumulowanego rozkładu standardowej normy. Identyczny wynik uzyskano dla przypadku . $\Phi(x)$ $z<0$

Ta odpowiedź może być zweryfikowana przez symulację. Poniższy skrypt w języku R wykonuje to zadanie.

n <- 1e7
mu <- 2
sigma <- 4

X <- runif(n)
Y <- rnorm(n, mean=mu, sd=sigma)

Z <- X/Y
# Constrain range of Z to allow better visualization 
Z <- Z[Z>-10]
Z <- Z[Z<10] 

# The actual density 
hist(Z, breaks=1000, xlim=c(-10,10), prob=TRUE)

# The theoretical density
r <- seq(from=-10, to=10, by=0.01)
p <- sigma/sqrt(2*pi)*( exp( -mu^2/(2*sigma^2)) - exp(-(1/r-mu)^2/(2*sigma^2)) ) + mu*( pnorm((1/r-mu)/sigma) - pnorm(-mu/sigma) )

lines(r,p, col="red")

Oto kilka wykresów do weryfikacji:

Dla $Y\sim N(0,1)$
Dla $Y\sim N(1,1)$
Dla $y\sim N(1,2)$

Nieosiągnięcie teoretycznej odpowiedzi widoczne na wykresach wokół jest prawdopodobnie spowodowane ograniczonym zakresem. W przeciwnym razie teoretyczna odpowiedź wydaje się podążać za symulowaną gęstością. $z=0$

— Comp_Warrior
źródło

+1 Bardzo miło! Pochodzenie od podstawowych zasad jest zawsze satysfakcjonujące, a grafika pomaga czytelnikowi natychmiast zrozumieć, co robisz.

— whuber

Oprócz odwrotności rozkładu ukośnika (lub „rozkładu odwrotnego ukośnika” @ Glen_b!), Pewnego rodzaju rozkładu proporcji, nie wiem też, jak to nazwać, ale zasymuluję jedną wersję w R.
Ponieważ podasz pozytywny średnia z , będziemy używać tak, że w większości próbek . Oczywiście istnieją inne możliwości. Na przykład każde rozszerzy zakres poza 1, a każde oczywiście rozszerzy go do wartości ujemnych. ^{(Zmniejsz rozmiar dla wolnych komputerów! Lub użyj,}^{jeśli wiesz jak!)} $Y$ $Y=\mathcal N(7,1)$ $\min(Y)>1$ $N\le1\rm M$ $Y<1$ $\frac X Y$ $Y<0$ set.seed(1);x=rbeta(10000000,1,1)/rnorm(10000000,7);hist(x,n=length(x)/50000)
^runif

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— Nick Stauner
źródło

ekstremalne ogony miażdżą gęstość. Rozkład jest raczej jak Cauchy. (Z ciekawości, czemu nie użyć runif? Wydaje się bardziej idiomatyczny i wydaje się też szybszy)

— Glen_b

Ponieważ najwyraźniej wciąż niewiele wiem o R. :) Dzięki za wskazówkę!

— Nick Stauner

bez obaw. Różnica prędkości nie jest tak duża, ale z 10 ^ 7 elementami, wystarczy zauważyć. Możesz znaleźć histogram, na który warto spojrzeć ( hist(x,n=length(x),xlim=c(-10,10))) (około 96% rozkładu wydaje się mieścić w tych granicach)

— Glen_b

Łał! Jasne. Obawiam się, że te wykresy gęstości są dość mylące! Zmienię na tym histogramie ...

— Nick Stauner

W porządku Bez obaw. W takim przypadku możesz chcieć zmniejszyć nclass. Myślę, że idealnie paski powinny być bardzo wąskie, ale nie tylko czarne linie.

— Glen_b