Rozkład splotu kwadratowych zmiennych normalnych i chi-kwadratowych?

następujący problem pojawił się ostatnio podczas analizy danych. Jeśli zmienna losowa X podąża za rozkładem normalnym, a Y za (z n dof), jak rozkłada się ? Do tej pory wymyśliłem pdf : $\chi^2_n$ $Z = X^2 + Y^2$ $Y^2$

\begin{array}{rcl} ψ_{n}^{2} (x) & = & \frac{\partial F (\sqrt{x})}{\partial x} \\ = & {(\int_{0}^{\sqrt{x}} \frac{t^{n / 2 - 1} \cdot e^{- t / 2}}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} d t)}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2} Γ (n / 2)} \cdot {(\sqrt{x})}^{n / 2 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \cdot {(\sqrt{x})}_{x}^{'} \\ = & \frac{1}{2^{n / 2 - 1} Γ (n / 2)} \cdot x^{n / 4 - 1} \cdot e^{- \sqrt{x} / 2} \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi^2_n(x) &=& \frac{\partial F(\sqrt{x})}{\partial x} \\ &=& \left( \int_0^{\sqrt{x}} \frac{t^{n/2-1}\cdot e^{-t/2}}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \mathrm{d}t \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^{n/2-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \cdot \left( \sqrt{x} \right)^\prime_x \\ &=& \frac{1}{2^{n/2-1}\Gamma(n/2)} \cdot x^{n/4-1} \cdot e^{-\sqrt{x}/2} \end{eqnarray}$

a także pewne uproszczenia dla całki splotowej ( ma pdf z m dof): $X^2$ $\chi^2_m$

\begin{array}{rcl} K_{m n} (t) & := & (χ_{m}^{2} * ψ_{n}^{2}) (t) \\ = & \int_{0}^{t} χ_{m}^{2} (x) \cdot ψ_{n}^{2} (t - x) d x \\ = & {(2^{\frac{(n + m)}{2} + 1} Γ (\frac{m}{2}) Γ (\frac{n}{2}))}^{- 1} \cdot \int_{0}^{t} (t - x)^{\frac{n}{4} - 1} \cdot x^{\frac{m}{2} - 1} \cdot \exp (- (\sqrt{t - x} + x) / 2) d x \end{array}

$\begin{eqnarray} K_{mn}(t) &:=& ( \chi^2_m \ast \psi^2_n )(t) \\ &=& \int_0^t \chi^2_m(x) \cdot \psi^2_n(t-x) \mathrm{d}x \\ &=& \left( 2^{\frac{(n+m)}{2}+1} \Gamma(\frac{m}{2}) \Gamma(\frac{n}{2}) \right)^{-1} \cdot \int_0^t (t-x)^{\frac{n}{4}-1} \cdot x^{\frac{m}{2}-1} \cdot \exp(-(\sqrt{t-x}+x)/2) \mathrm{d}x \end{eqnarray}$

Czy ktoś widzi dobry sposób obliczenia tej całki dla dowolnego rzeczywistego t, czy też trzeba ją obliczyć numerycznie? A może brakuje mi dużo prostszego rozwiązania?

— Leo Szilard
źródło

Gdyby nie było podniesione do kwadratu, miałbym jakąś konkretną radę. Nie sądzę, aby ten był wykonalny (niekoniecznie szczególnie pouczający, nawet gdyby okazał się wykonalny). Kusiłoby mnie, aby przyjrzeć się podejściom obliczeniowym, takim jak splot numeryczny lub symulacja, w zależności od tego, co dokładnie chcesz zrobić z wynikiem.

Y

$Y$

— Glen_b

Moim zdaniem jest bardzo mało prawdopodobne, aby można było wykonać całkę.

— Dave31415

@ Dave31415 Dla i nawet całka może być jawnie obliczane dla dodatnich wartości zintegrowanego z a . Będzie równa liniowej kombinacji funkcji wykładniczej i funkcji błędu ze współczynnikami, które są wielomianami w . Oceny można dokonać przez podstawienie . Na przykład przy otrzymujemy .

n

$n$

m

$m$

n

$n$

m

$m$

\sqrt{t}

$\sqrt{t}$

x = t - u^{2}

$x=t-u^2$

n = 2, m = 4

$n=2,m=4$

\frac{1}{4} e^{- \frac{1}{8} (2 \sqrt{t} + 1)^{2}} (e^{\frac{\sqrt{t}}{2}} (\sqrt{2 π} (4 t + 3) (erfi (\frac{2 \sqrt{t} - 1}{2 \sqrt{2}}) + erfi (\frac{1}{2 \sqrt{2}})) + 4 e^{\frac{1}{8}}) - 4 e^{\frac{t}{2} + \frac{1}{8}} (2 \sqrt{t} + 1))

$\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{8}(2\sqrt{t}+1)^2}(e^{\frac{\sqrt{t}}{2}}(\sqrt{2\pi} (4t+3)(\text{erfi}(\frac{2\sqrt{t}-1}{2\sqrt{2}})+\text{erfi}(\frac{1}{2\sqrt{2}}))+4e^\frac{1}{8})-4 e^{\frac{t}{2}+\frac{1}{8}}(2\sqrt{t}+1))$

— Whuber

Ładny. W przypadku liczb nieparzystych można to prawdopodobnie przybliżyć w przybliżeniu do średniej wyniku dla liczb parzystych ograniczających? Albo może nie.

— Dave31415

Dziękuję za odpowiedzi! W niektórych parzystych przypadkach uzyskałem podobny wynik dotyczący funkcji Dawsona, ale wygląda na to, że będę musiał popracować nad ogólnym rozwiązaniem ...

— Leo Szilard

Jeśli to pomaga, zmienna jest uogólnioną zmienną losową gamma (patrz np. Stacy 1962). Twoje pytanie dotyczy rozkładu sumy losowej zmiennej chi-kwadrat i uogólnionej zmiennej losowej gamma. Według mojej wiedzy gęstość wynikowej zmiennej nie ma wyrażenia w postaci zamkniętej. Dlatego uzyskany splot jest całką bez rozwiązania w postaci zamkniętej. Myślę, że utkniesz w numerycznym rozwiązaniu tego problemu. $Y^2$

Stacy, EW (1962). Uogólnienie rozkładu gamma. Annals of Mathematical Statistics 33 (3) , s. 1187–1192.

— Przywróć Monikę
źródło

To tylko wskazówka. Pearson typu III może mieć kwadrat chi. Czasami splot można znaleźć, splatając coś ze sobą. Udało mi się to zrobić dla zwojów ND i GD , dla których sam z sobą splotłem Pearson III. Jak to działa z ND i Chi-Squared, nie jestem pewien. Ale poprosiłeś o podpowiedzi, a to jest ogólna wskazówka. Mam nadzieję, że to powinno wystarczyć. $^2$

— Carl
źródło

Czy możesz wyjaśnić, jak to odpowiada na pytanie? Nie wydaje się to bezpośrednio powiązane.

— whuber

Można dokonać splotu Pearsona typu III z samym sobą. Z jakiegoś powodu splot jednej rzeczy ze sobą jest łatwiejszy do rozwiązania niż splot jednej rzeczy z drugą. Na przykład rozwiązałem splot Pearsona typu III i uzyskałem splot ND z GD, pokrewnym problemem.

— Carl

Wygląda na to, że nie pomogło, wkrótce zostanie usunięte.

— Carl