Czy średnia i wariancja zawsze istnieją dla wykładniczych rozkładów rodzin?

Załóżmy, że losowa zmienna skalarna należy do wykładniczej rodziny wektorowej o formacie pdf $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

gdzie ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ to wektor parametru, a $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ to łączna wystarczająca statystyka.

Można wykazać, że istnieje średnia i wariancja dla każdego $T_i(x)$ . Czy jednak średnia i wariancja dla $X$ (tj. $E(X)$ i $Var(X)$ ) również zawsze istnieją? Jeśli nie, to czy istnieje wykładniczy rozkład rodziny tej formy, której średnia i zmienna nie istnieją?

Dziękuję Ci.

— Wei
źródło

Biorąc , , , a daje pod warunkiem , produkuje $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

Postać

Wykresy są pokazane dla (odpowiednio w kolorze niebieskim, czerwonym i złotym). $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

Oczywiście absolutne momenty wag lub większe nie istnieją, ponieważ całka , która jest asymptotycznie proporcjonalna do , utworzy zbieżną całkę na granicach wtedy i tylko wtedy, gdy . W szczególności, gdy ten rozkład nie ma nawet średniej (a na pewno nie wariancji). $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— Whuber
źródło

Nie rozumiem warunku . Masz na myśli ? Gdy , nie jest zdefiniowane, a jest ujemne i nie może być pdf. Daj mi znać, co przeoczyłem. Dzięki.

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— Wei

Ja przepraszam, bo to znak minus został pominięty w obliczeniach . Zastąpiłem go we wzorach. Naprawdę mam na myśli .

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

Dziękuję za przykład. Zgadzam się z momentami. A co z momentami samego ? Na przykład, kiedy w powyższym przykładzie, czy istnieje?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— Wei

Ponieważ całka Lebesgue'a jest zdefiniowana w kategoriach dodatnich i ujemnych części całki, momenty istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy momentyistnieć.

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: istnieje tylko, jeśli . Bez tego ograniczenia oczekiwanie nie jest jednoznacznie określone dla niektórych CDF.

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— Dennis