Czy rozkłady z tymi samymi momentami są identyczne

Poniższe są podobne, ale różnią się od poprzednich postów tutaj i tutaj

Biorąc pod uwagę dwa rozkłady, które dopuszczają momenty wszystkich zamówień, jeśli wszystkie momenty dwóch rozkładów są takie same, to czy są to identyczne rozkłady?
Biorąc pod uwagę dwa rozkłady, które dopuszczają funkcje generujące moment, jeśli mają takie same momenty, czy ich funkcje generujące moment są takie same?

— Tim
źródło

Zgodnie z pytaniem nr 2, ogólnie uważam, że jeśli dwie funkcje mają ten sam MGF (jeśli istnieje w otwartym sąsiedztwie 0), to mają one ten sam rozkład. Niestety nie znam dowodu, ponieważ jest on dość złożony. Mam nadzieję, że to trochę pomaga.

— nicefella

@nicefella Dowód jest stosunkowo prosty: ocena MGF przy wyimaginowanych wartościach daje charakterystyczną funkcję, którą można odwrócić, aby uzyskać rozkład. Inwersja działa, pod warunkiem, że MGF jest analityczny w sąsiedztwie źródła.

— whuber

Pozwól, że odpowiem w odwrotnej kolejności:

2. Tak Jeśli ich MGF istnieją, będą takie same *.

patrz tutaj i tutaj na przykład

Rzeczywiście wynika to z wyniku podanego w poście, z którego pochodzi; jeśli MGF jednoznacznie ** określa rozkład, a dwie dystrybucje mają MGF i mają taki sam rozkład, muszą mieć ten sam MGF (w przeciwnym razie miałbyś kontrprzykład na „MGF jednoznacznie określa rozkłady”).

* dla niektórych wartości „tego samego”, ze względu na to wyrażenie „prawie wszędzie”

** „ prawie wszędzie ”

Nie - ponieważ istnieją kontrprzykłady.

Kendall i Stuart wymieniają rodzinę ciągłej dystrybucji (być może pierwotnie ze względu na Stieltjesa lub kogoś z tego rocznika, ale moje wspomnienia są niejasne, minęło kilka dekad), które mają identyczne sekwencje momentów, a jednak są różne.

Książka Romano i Siegela (Kontrprzykłady w rachunku prawdopodobieństwa i statystyki) wymienia kontrprzykłady w sekcjach 3.14 i 3.15 (strony 48-49). (Właściwie, patrząc na nie, myślę, że obaj byli w Kendall i Stuart.)

Romano, JP i Siegel, AF (1986),
kontrprzykłady w prawdopodobieństwie i statystyce.
Boca Raton: Chapman and Hall / CRC.

Za 3,15 uznają Fellera, 1971, s. 227

Ten drugi przykład dotyczy rodziny gęstości

fa (x; α) = \frac{1}{24} \exp (- x^{1 / 4}) [1 - α grzech (x^{1 / 4})], x > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

a następnie wykazanie, że druga część przyczynia się 0 do każdej chwili, więc wszystkie są takie same jak momenty pierwszej części.

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

przykład tych samych chwil, różnych gęstości

Być może jeszcze lepiej byłoby obrać znacznie większy zasięg i zastosować czwartą skalę pierwiastkową na osi X, dzięki czemu niebieska krzywa jest prosta, a zielona porusza się jak krzywa sinusoidy powyżej i poniżej, coś w tym rodzaju:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Wigery powyżej i poniżej niebieskiej krzywej - o większej lub mniejszej wielkości - okazują się pozostawiać niezmienione wszystkie pozytywne liczby całkowite.

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Dzięki! W odpowiedzi na moje drugie pytanie, co oznacza „dla niektórych wartości„ tego samego ”? Czy możesz podać kontrprzykłady na moje pierwsze pytanie?

— Tim

Jest to po prostu odniesienie do niezbędnych kwalifikacji spowodowanych przez „prawie wszędzie”, o którym mowa w poprzednim pytaniu. Kontrprzykłady mogły więc przyjrzeć się funkcjom gęstości, które były prawie wszędzie takie same, ale różniły się licznym podzbiorem punktów - już dawałem wam przykład.

— Glen_b

W przypadku mojego pierwszego pytania (zgodnie z odpowiedzią „tak” na moje drugie pytanie i na moje pytanie w poprzednim poście) czy wszystkie kontrprzykłady należą do przypadku, gdy nie obie dystrybucje dopuszczają funkcje generowania momentu?

— Tim

To, że tak musi być, jest konsekwencją stwierdzenia „Jeśli mgf jest skończony w otwartym przedziale zawierającym zero, to związany z nim rozkład charakteryzuje się momentami” w odpowiedzi kardynała, z którą, jak sądzę, się skojarzyłem. Jeśli mgf nie jest w tym sensie skończony, jest to jedyny sposób, aby rozkład nie charakteryzował się momentami.

— Glen_b

Na pierwsze pytanie odpowiedział na stats.stackexchange.com/questions/25010/... aw ostatnim pytaniu OP pod adresem stats.stackexchange.com/questions/84158/... . Przykład Fellera przypisuje się Stieltjesowi (na długo przed czasem Fellera) w Stuart & Ord.

— whuber