Tożsamość funkcji generujących moment

Czy istnieją jakieś nieidentyczne rozkłady, które mają tę samą funkcję generowania momentu?

distributions moments mgf

Zobacz Wikipedia pod funkcją Generowanie momentu # Ważne właściwości

— onestop

@onestop, który na to odpowiada! jeśli chcesz odpowiedzieć na to pytanie, zaakceptuję.

Tak.

W ćwiczeniu Stuart & Ord ( zaawansowane Teoria Kendalla Statystyczny .., 5th Ed, Wj 3,12) zacytować 1918 wynik TJ Stieltjes (który podobno pojawia się w jego Oeuvres uzupełnia , ):

Jeśli jest nieparzystą funkcją okresu , pokaż to $f$ $\frac{1}{2}$

$\int_{0}^{\infty} x^{r} x^{- \log x} f (\log x) d x = 0$ $\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$
dla wszystkich wartości całkowitych . Stąd pokazują, że rozkłady $r$

$d F = x^{- \log x} (1 - λ \sin (4 π \log x)) d x, 0 \leq x < \infty; 0 \leq | λ | \leq 1,$ $dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$
mają te same chwile niezależnie od wartości . $\lambda$

(W oryginale pojawia się tylko jako ; ograniczenie wielkości wynika z wymogu zachowania wszystkich wartości funkcji gęstości nieujemnych.) Ćwiczenie można łatwo rozwiązać poprzez podstawienie i wypełnienie kwadratu. Przypadek jest dobrze znanym rozkładem logarytmicznym . $|\lambda|$ $\lambda$ $\lambda$ $dF$ $x = \exp(y)$ $\lambda=0$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Niebieska krzywa odpowiada , logarytmicznemu rozkładowi. Dla czerwonej krzywej a dla złotej krzywej . $\lambda=0$ $\lambda = -1/4$ $\lambda = 1/2$

— Whuber
źródło

Ale rozkład logarytmiczny nie ma funkcji generowania momentu.

— onestop

To świetny punkt, onestop i muszę się z tym zgodzić. Przyjąłem pytanie w sensie „posiadania tego samego zestawu momentów” i powinienem był zwrócić uwagę na tę zmianę interpretacji. Gdy mgf istnieje jako funkcja (a nie tylko jako formalna seria mocy), można go odwrócić, aby uzyskać unikalną gęstość, której odpowiada.

— whuber

To nieprawda, że lognormalny nie ma mgf, tylko tyle, że nie jest zdefiniowany w otwartym przedziale zawierającym zero

— kjetil b halvorsen 21.04.17

Dla przypomnienia, zarówno @onestop, jak i ja domyślnie dyskutowaliśmy o istnieniu mgf w sąsiedztwie $0.$ To poczucie jest często zakładane, ponieważ jednym z najbardziej podstawowych zastosowań mgf jest rozszerzenie jego serii MacLaurin (seria Taylora około ) obliczać lub analizować momenty, a to wymaga zdefiniowania funkcji w sąsiedztwie, a nie tylko na

0

$0$

0.

$0.$

— whuber

@ whuber: W porządku, ale wydaje się, że jest to rozumiane domyślnie tak często, że zapomina się, że mgf mogą być przydatne również w innym przypadku. Zobacz także (linki w) stats.stackexchange.com/questions/389846/…

— kjetil b halvorsen