Oczekiwana wartość minimalnej statystyki zamówienia z próbki normalnej

AKTUALIZACJA 25 stycznia 2014: błąd został teraz naprawiony. Zignoruj ​​obliczone wartości oczekiwanej wartości w przesłanym obrazie - są one nieprawidłowe - nie usuwam obrazu, ponieważ wygenerował on odpowiedź na to pytanie.

AKTUALIZACJA 10 stycznia 2014: znaleziono błąd - literówkę matematyczną w jednym ze źródeł. Przygotowanie korekty ...

Gęstość statystyki minimalnego rzędu z kolekcji iid ciągłych zmiennych losowych z cdf i pdf wynosi $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Jeśli te losowe zmienne są standardowe normalne, to

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ więc jego oczekiwana wartość to $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

gdzie zastosowaliśmy symetryczne właściwości standardowej normy. W Owen 1980 , s. 402, równ. [ N, 011 ] stwierdzamy, że

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Dopasowujemy parametry między równaniami i ( , ) otrzymujemy$[3]$$[4]$$a=-1$$m=n-1$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Ponownie w Owen 1980, str. 409, eq [ n0,010,2 ] znajdujemy to

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

gdzie to standardowa normalna wielowymiarowa normalna, to współczynniki korelacji parami i .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

Dopasowując i mamy, , , i $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

Korzystając z tych wyników, staje się eq$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Ta wieloczynnikowa normalna całka prawdopodobieństwa normalnego zmiennych skorelowanych równorzędnie, wszystkie oszacowane na zero , doczekała się wystarczających badań i uzyskano różne sposoby jej przybliżenia i obliczenia. Obszernym przeglądem (związanym z obliczaniem wielowymiarowych całek normalnych prawdopodobieństwa ogólnie) jest Gupta (1963) . Gupta podaje wyraźne wartości dla różnych współczynników korelacji i dla maksymalnie 12 zmiennych (więc obejmuje zbiór 14 zmiennych). Rezultaty to (OSTATNIA KOLUMNA JEST ŹLE) :

Teraz, jeśli wykreślimy, jak zmienia się wartość pomocą , otrzymamy$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

Tak więc dochodzę do moich trzech pytań / próśb:
1) Czy ktoś mógłby sprawdzić analitycznie i / lub zweryfikować przez symulację, że wyniki dla oczekiwanej wartości są prawidłowe (tj. Sprawdzić ważność równania )?$[7]$

2) Zakładając, że podejście jest poprawne, czy ktoś mógłby dać rozwiązanie dla normalnych z niezerową średnią i niejednolitą wariancją? Po tych wszystkich przemianach mam zawroty głowy.

3) Wartość całki prawdopodobieństwa wydaje się ewoluować płynnie. Co powiesz na przybliżenie go za pomocą funkcji ?$n$

Twoje wyniki nie wydają się prawidłowe. Łatwo to zobaczyć, bez żadnych obliczeń, ponieważ w twojej tabeli twoje rośnie wraz z rozmiarem próbki ; wyraźnie, oczekiwana wartość minimum próbki musi się zmniejszyć (tj. stać się bardziej ujemna) w miarę wzrostu wielkości próbki .$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Problem jest koncepcyjnie dość łatwy.

W skrócie: jeśli ~ z pdf :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... to pdf statystyki pierwszego rzędu (w próbce o rozmiarze ) to:$n$

... uzyskane tutaj za pomocą OrderStatfunkcji w mathStatica, z domeną wsparcia:

Następnie dla można łatwo uzyskać dokładnie tak, jak:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Dokładny przypadek wynosi w przybliżeniu , co oczywiście różni się od twoich działań w zakresie -1.06 (wiersz 1 tabeli), więc wydaje się jasne, że coś jest nie tak z twoimi działaniami (lub może moje rozumienie tego, czego szukasz) .$n = 3$$-0.846284$

W przypadku uzyskanie rozwiązań w formie zamkniętej jest trudniejsze, ale nawet jeśli integracja symboliczna okaże się trudna, zawsze możemy zastosować integrację numeryczną (w razie potrzeby z dowolną precyzją). Jest to naprawdę bardzo łatwe ... tutaj, na przykład, jest , dla wielkości próbki do 14, przy użyciu Mathematica :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Wszystko gotowe. Te wartości są oczywiście bardzo różne od tych w tabeli (prawa kolumna).

Aby rozważyć bardziej ogólny przypadek rodzica , postępuj dokładnie tak, jak powyżej, zaczynając od ogólnego pliku Normal pdf.$N(\mu, \sigma^2)$