Oczekiwana wartość i wariancja log (a)

Mam losową zmienną gdzie a jest rozkładem normalnym . Co mogę powiedzieć o i ? Przydatne byłoby również przybliżenie. $X(a) = \log(a)$ $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$ $E(X)$ $Var(X)$

— rocksportrocker
źródło

Myślę, że pytanie dotyczyło „odwrotności” log-normal, tj. Gdzie normalna rv A prowadzi do log-normal X = exp (A), pytający pytał o rozkład X = log (A), który jest niezdefiniowany (z powodu czasami wymaganego dziennika liczby ujemnej). Mogą wystąpić pewne wyniki dla obciętej normalnej, ale prawdopodobnie będą bałaganu.

— Martin O'Leary

rocksportrocker, jak zauważa @Martin O'Leary, matematycznie nie ma takiej zmiennej , ponieważ jest niezdefiniowany dla wartości ujemnych. Co najmniej musisz obciąć o pewnej wartości nieujemnej. Czy możesz nam powiedzieć dlaczego uważasz może być normalne?

X

$X$

\log (a)

$\log(a)$

a

$a$

a

$a$

— whuber

Jeśli weźmiemy pod uwagę „przybliżenie” w dość ogólnym sensie, możemy gdzieś dojść.

Nie musimy zakładać, że mamy rzeczywisty rozkład normalny, ale coś, co jest w przybliżeniu normalne, z wyjątkiem tego, że gęstość nie może być niezerowa w sąsiedztwie 0.

Więc powiedzmy, że jest „w przybliżeniu normalny” (i skupiony przy średniej *) w tym sensie, że możemy handwave stąd obawy o zbliża 0 (i jego późniejszego wpływu na momentów , ponieważ nie robi „t” zejdź w pobliżu 0 ”), ale z tymi samymi momentami niskiego rzędu, jak określony rozkład normalny, wówczas moglibyśmy użyć szeregu Taylora do przybliżenia momentów transformowanej zmiennej losowej . $a$ $a$ $\log(a)$ $a$

W przypadku niektórych przekształceń wymaga to rozszerzenia jako szeregu Taylora (pomyśl gdzie przyjmuje rolę „ ”, a przyjmuje rola „ ”), a następnie przyjmowanie oczekiwań, a następnie obliczanie wariancji lub oczekiwanie kwadratu rozszerzenia (z którego można uzyskać wariancję). $g(X)$ $g(\mu_X + X-\mu_X)$ $g(x+h)$ $\mu_X$ $x$ $X-\mu_X$ $h$

Wynikowe przybliżone oczekiwanie i wariancja to:

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

i tak (jeśli nie popełniłem żadnych błędów), gdy : $g() = \log()$

E [\log (a)] \approx l o g (μ_{a}) - \frac{σ_{a}^{2}}{2 μ_{a}^{2}}

$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$

Var [\log (a)] \approx σ_{a}^{2} / μ_{a}^{2}

$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$

* Aby było to dobre przybliżenie, ogólnie chcesz, aby standardowe odchylenie było dość małe w porównaniu ze średnią (niski współczynnik zmienności). $a$

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

Ponieważ szereg Taylora dla logu ma stosunkowo mały promień zbieżności, zaleca się ostrożność przy stosowaniu tych przybliżeń.

— whuber

@ Whuber dla rozszerzenia wokół średniej, myślę, że byłoby to zgodne z radą, że „odchylenie standardowe

powinno być dość małe w porównaniu ze średnią”, na której kończy się moja odpowiedź - jeśli brakuje mi jakiegoś dalszego problemu, że rada ta nie obejmuje Powinienem naprawić swoją odpowiedź.

a

$a$

— Glen_b

Przybliżenie średniej działa całkiem dobrze dla

a dla wariancji działa całkiem dobrze dla

lub więcej.

μ / σ > 1.5

$\mu/\sigma \gt 1.5$

μ / σ > 2.5

$\mu/\sigma \gt 2.5$

— whuber

W każdym razie z pewnością warto wyjaśnić, że pośrednio polegamy na zbieżności

(ponieważ

\ln (1 + x)

$\ln(1+x)$

\ln (μ + y - μ) = \ln [μ {1 + (y - μ) / μ}] = \ln (μ) + \ln [1 + (y - μ) / μ]

$\ln(\mu + y-\mu) = \ln[\mu\{1 + (y - \mu)/\mu\}] = \ln(\mu) + \ln[1 + (y - \mu)/\mu]$ ). Dziękujemy również za sugerowane wyraźne wartości; jeśli coś, to jestem nieco przesadny, kiedy go używam. Dwa cenne komentarze.

— Glen_b