Centralne twierdzenie graniczne i prawo wielkich liczb

Mam pytanie od bardzo początkującego dotyczące centralnego twierdzenia granicznego (CLT):

Wiem, że CLT stwierdza, że średnia iid zmiennych losowych ma w przybliżeniu rozkład normalny (dla , gdzie jest indeksem sum) lub że znormalizowana zmienna losowa miałaby standardowy rozkład normalny. $n \to \infty$ $n$

Teraz prawo dużej liczby mówi z grubsza, że średnia iid zmiennych losowych zbiega się (w prawdopodobieństwie lub prawie na pewno) z ich oczekiwaną wartością.

Nie rozumiem jednak: jeśli, jak stwierdza CLT, średnia jest w przybliżeniu normalnie dystrybuowana, to w jaki sposób może ona jednocześnie zbiegać się z oczekiwaną wartością?

Konwergencja oznaczałaby dla mnie, że z czasem prawdopodobieństwo, że średnia przyjmuje wartość, która nie jest wartością oczekiwaną, wynosi prawie zero, stąd rozkład nie byłby tak naprawdę normalny, ale prawie zerowy wszędzie, z wyjątkiem wartości oczekiwanej.

Wszelkie wyjaśnienia są mile widziane.

— Pegah
źródło

Klucz do odpowiedzi leży w tym, gdzie w twoim pytaniu pojawia się słowo „standaryzowany”.

— whuber

Przepraszam, ale nie jestem pewien, czy rozumiem.

— Pegah

Wskazówka: jedno twierdzenie dotyczy około

który ma wariancję

, drugi około

\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_i X_i$

σ^{2}

$\sigma^2$

który ma wariancję

\frac{1}{n} \sum_{i} X_{i}

$\frac{1}{n}\sum_i X_i$

\frac{σ^{2}}{n}

$\frac{\sigma^2}{n}$

— Dilip Sarwate

Twierdzenie o granicy centralnej dotyczy podróży, a silne prawo wielkich liczb dotyczy celu podróży.

— kardynał

Ta rycina pokazuje rozkłady średnich (niebieski), (czerwony) i (złoty) niezależnych i identycznie rozmieszczonych ( iid ) rozkładów normalnych (wariancji jednostkowej i średniej ): $n=1$ $10$ $100$ $\mu$

Trzy nakładające się pliki PDF

$n$ $\mu$ $(a,b)$ $\mu$ $[a,b]$ $n$ $1$

$0$ $\mu$

$n$ $n$

— Whuber
źródło

@ Whuber całkiem dobra odpowiedź, docenię wyjaśnienie tego, co rozumiemy przez Słabe Prawo Dużej Liczby.

— Subhash C. Davar,

@subhash Zobacz en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers#Weak_law .

— whuber