Związek między funkcją generującą moment a funkcją charakterystyczną

Próbuję zrozumieć związek między funkcją generującą moment a funkcją charakterystyczną. Funkcja generowania momentu jest zdefiniowana jako:

M_{X} (t) = E (\exp (t X)) = 1 + \frac{t E (X)}{1} + \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{t^{n} E (X^{n})}{n!}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

Wykorzystanie rozszerzenia szeregowego , Mogę znaleźć wszystkie momenty rozkładu dla zmiennej losowej X. $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

Funkcja charakterystyczna jest zdefiniowana jako:

φ_{X} (t) = E (\exp (i t X)) = 1 + \frac{i t E (X)}{1} - \frac{t^{2} E (X^{2})}{2!} + \dots + \frac{(i t)^{n} E (X^{n})}{n!}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

I nie w pełni zrozumieć, jakie informacje Liczby urojone daje mi więcej. Widzę, że i dlatego nie mamy tylko w funkcji charakterystycznej, ale dlaczego musimy odejmować momenty w funkcji charakterystycznej? Jaki jest matematyczny pomysł? $i$ $i^2 = -1$ $+$

— Giuseppe
źródło

Ważną kwestią jest to, że funkcja generująca moment nie zawsze jest skończona! (Zobacz na przykład to pytanie .) Jeśli chcesz zbudować ogólną teorię, powiedzmy, o zbieżności w dystrybucji, chcesz mieć możliwość pracy z jak największą liczbą obiektów. Funkcja charakterystyczna jest oczywiście skończona dla dowolnej zmiennej losowej od

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— kardynał

Podobieństwa w rozszerzeniach Taylora nadal pozwalają odczytać momenty, w których one istnieją, ale zauważ, że nie wszystkie dystrybucje mają momenty, więc zainteresowanie tymi funkcjami wykracza daleko poza to! :)

— kardynał

Należy również zauważyć, że MGF jest transformacją Laplace'a zmiennej losowej, a CF jest transformacją Fouriera. Istnieją fundamentalne relacje między tymi integralnymi transformacjami, patrz tutaj .

— tchakravarty

Myślałem, że CF jest odwrotną transformatą Fouriera (a nie transformatą Fouriera) rozkładu podatności?

— Giuseppe,

To rozróżnienie jest tylko kwestią znaku w wykładniku i być może stałą multiplikatywną.

— Glen_b

Jak wspomniano w komentarzach, funkcje charakterystyczne zawsze istnieją, ponieważ wymagają one integracji funkcji modułu $1$ . Jednak funkcja generowania momentu nie musi istnieć, ponieważ w szczególności wymaga istnienia momentów o dowolnej kolejności.

Kiedy to wiemy $E[e^{tX}]$ jest możliwy do zintegrowania dla wszystkich $t$ możemy zdefiniować $g(z):=E[e^{zX}]$ dla każdej liczby zespolonej $z$ . Wtedy to zauważamy $M_X(t)=g(t)$ i $\varphi_X(t)=g(it)$ .

— Davide Giraudo
źródło