Czy wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Graniczne (CLT) obowiązuje, gdy zmienne wykazują doskonałą współzależność?

Tytuł podsumowuje moje pytanie, ale dla jasności rozważ następujący prosty przykład. Niech $X_i \overset{iid}{\backsim} \mathcal{N}(0, 1)$ , $i = 1, ..., n$ . Zdefiniuj:

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\begin{equation} S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \end{equation}$ i

T_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i}^{2} - 1)

$\begin{equation} T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i^2 - 1) \end{equation}$ Moje pytanie: Mimo że

S_{n}

$S_n$ i

T_{n}

$T_n$ są całkowicie zależne, gdy

n = 1

$n = 1$ , czy

\sqrt{n} S_{n}

$\sqrt{n} S_n$ i

\sqrt{n} T_{n}

$\sqrt{n} T_n$ zbieżne do wspólnego rozkładu normalnego jako

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$ ?

Motywacja: Moja motywacja do pytania wynika z faktu, że dziwnie (ale cudownie) wydaje się, że $S_n$ i $T_n$ są całkowicie zależne, gdy $n = 1$ , ale implikacją wielowymiarowego CLT jest to, że podchodzą do niezależności jako $n \rightarrow \infty$ (wynikałoby to z tego, że $S_n$ i $T_n$ są nieskorelowane dla wszystkich $n$ , stąd jeśli są asymptotycznie normalne w stawie, to muszą również być asymptotycznie niezależne).

Z góry dziękuję za wszelkie odpowiedzi lub komentarze!

ps, jeśli możesz podać jakieś referencje itp., tym lepiej!

— Colin T. Bowers
źródło

Brak odpowiedzi, ale komentarz. Nie uważam tego za bardzo zaskakujące. Zależność, którą zauważysz dla n = 1, szybko maleje wraz ze wzrostem n.

— Erik,

@egbutter podał dobrą odpowiedź. Jeśli nadal szukasz alternatywnej lub dodatkowej intuicji, zadzwoń do mnie, a zobaczę, jak napisać coś nieco innego.

— kardynał

@cardinal Bardzo dziękuję za ofertę, ale w tym momencie jestem całkiem zadowolony - nagrodę przyznałem egbutter. Myślę, że mam intuicję. Moim głównym celem w postach było sprawdzenie, czy ktoś wskoczył i powiedział: „Nie, nie, wszystko popełniłeś źle z powodu ...” :-) Na zdrowie.

— Colin T Bowers

Odpowiedzi:

Krótka odpowiedź, jak rozumiem twoje q, brzmi „tak, ale ...” wskaźniki zbieżności na S, T i innych momentach niekoniecznie są takie same - sprawdź wyznaczanie granic za pomocą twierdzenia Berry'ego-Esseena .

W przypadku, gdy źle rozumiem twoje q, Sn i Tn trzymają się nawet CLT w warunkach słabej zależności (miksowania): sprawdź CLT Wikipedii, aby zapoznać się z procesami zależnymi .

CLT jest takim ogólnym twierdzeniem - podstawowy dowód nie wymaga niczego więcej, niż funkcja charakterystyczna Sn i Tn jest zbieżna z funkcją charakterystyczną normalnej normy, a następnie Twierdzenie Levy'ego o ciągłości mówi, że zbieżność funkcji charakterystycznej implikuje zbieżność rozkładu.

Jan Kucharz stanowi doskonałą wyjaśnienie błędu CLT tutaj .

— egbutter
źródło

Dziękuję za odpowiedź. Jeśli chodzi o to pytanie, tak naprawdę nie martwię się stopniem konwergencji ani tym, czy CLT zachowa się w bardziej ogólnych warunkach, np. W zależności. Naprawdę liczyłem na odniesienie lub stwierdzenie, które uzasadnia użycie wielowymiarowego CLT, gdy i-ty składnik każdej sumy wykazuje doskonałą równoczesną zależność. Następnie odnalazłem odniesienie w „Stochastycznej Teorii Granic” Davidsona, stwierdzające, że wielowymiarowy CLT utrzymuje dowolną współczesną zależność, ale wciąż szukam trochę rygorystyczności wokół tego stwierdzenia.

— Colin T Bowers

Wygląda na to, że przesadzasz. Czy twoje i w [1, n] komponentach „współczesnych”, o których mówisz? Jeśli tak, to ważne jest, aby Twoje Sn i Tn nadal były zbieżne (możesz to sobie udowodnić przy użyciu tej samej metody, co wspomniany powyżej dowód „starej szkoły” CLT) - ale dla danego i ich błędy będą być innym. To nie zmienia faktu, że CLT ma. Rozróżnienie wielu / jednowymiarowych nie jest ważne.

— egbutter

Tak, ja są współczesnymi składnikami. Dobra sugestia dotycząca przeprowadzenia przykładu przez dowód. Właściwie to zrobiłem i nie znalazłem żadnych problemów, co paradoksalnie mnie denerwowało. Być może w tym momencie przesadzam z przemyśleniami :-) Jeszcze raz dziękuję za odpowiedź. Jeśli do końca dnia nikt nie ma wątpliwości, zaznaczę twoją odpowiedź jako odpowiedź. Twoje zdrowie.

— Colin T Bowers

Z pewnością potrafię wczuć się w świat - często robię to samo! :)

— egbutter

Oczywiście, to niczego nie dowodzi , ale zawsze uważam, że wykonywanie symulacji i tworzenie wykresów jest bardzo przydatne w zrozumieniu wyników teoretycznych.

Jest to szczególnie prosty przypadek. Generujemy losowych zmiennych normalnych i obliczamy i ; powtórz razy. Przedstawiono wykresy dla i . Łatwo jest zauważyć, że zależność słabnie wraz ze wzrostem ; przy wykres jest prawie nie do odróżnienia od niezależności. $n$ $S_n$ $T_n$ $m$ $n = 1, 10, 100$ $1000$ $n$ $n = 100$

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

wprowadź opis zdjęcia tutaj

— Hong Ooi
źródło