Nie ma unikalnego rozwiązania
Nie sądzę, aby można było odzyskać prawdziwy dyskretny rozkład prawdopodobieństwa, chyba że poczynisz dodatkowe założenia. Twoja sytuacja to w zasadzie problem z odzyskaniem wspólnej dystrybucji z marginesów. Czasami rozwiązuje się to za pomocą kopuł w branży, na przykład zarządzania ryzykiem finansowym, ale zwykle w przypadku ciągłych dystrybucji.
Obecność, Independent, AS 205
W przypadku problemu obecności w celi nie może znajdować się więcej niż jedna bomba. Ponownie, w szczególnym przypadku niezależności, istnieje stosunkowo wydajne rozwiązanie obliczeniowe.
Jeśli znasz FORTRAN, możesz użyć tego kodu, który implementuje algorytm AS 205: Ian Saunders, Algorytm AS 205: Wyliczanie tabel R x C z powtarzającymi się sumami wierszy, Statystyka stosowana, tom 33, numer 3, 1984, strony 340-352. Jest to związane z algo Panefielda, o którym wspominał @Glen_B.
Ten algo wylicza wszystkie tabele obecności, tzn. Przechodzi przez wszystkie możliwe tabele, w których tylko jedna bomba znajduje się na polu. Oblicza również krotność, tj. Wiele tabel, które wyglądają tak samo, i oblicza pewne prawdopodobieństwa (nie te, które Cię interesują). Dzięki temu algorytmowi możesz być w stanie uruchomić pełne wyliczenie szybciej niż wcześniej.
Obecność, nie niezależna
Algorytm AS 205 można zastosować w przypadku, gdy wiersze i kolumny nie są niezależne. W takim przypadku należy zastosować różne wagi do każdej tabeli wygenerowanej przez logikę wyliczenia. Waga będzie zależeć od procesu umieszczania bomb.
Liczy się, niezależność
Ilość problemu pozwala więcej niż jedną bombę umieszczoną w komórce, oczywiście. Szczególny przypadek niezależnych wierszy i kolumn zliczania jest prosty:
gdzie i są marginesami wierszy i kolumn. Na przykład wiersz a kolumna , stąd prawdopodobieństwo, że bomba jest w rzędzie 6, a kolumna 3 to . Tak naprawdę stworzyłeś tę dystrybucję w swoim pierwszym stole.Pji=Pi×PjPiPjP6=3/15=0.2P3=3/15=0.2P36=0.04
Liczy, nie jest niezależny, dyskretne kopuły
Aby rozwiązać problem zliczania, w którym wiersze i kolumny nie są niezależne, możemy zastosować dyskretne kopuły. Mają problemy: nie są wyjątkowe. Nie czyni ich jednak bezużytecznymi. Więc spróbuję zastosować dyskretne kopuły. Dobry ich przegląd można znaleźć w Genest, C. i J. Nešlehová (2007). Podkład na kopule dla danych zliczania. Astin Bull. 37 (2), 475–515.
Kopuły mogą być szczególnie przydatne, ponieważ zwykle pozwalają jawnie indukować zależność lub szacować ją na podstawie danych, gdy dane są dostępne. Mam na myśli zależność między rzędami i kolumnami podczas umieszczania bomb. Na przykład może się zdarzyć, że jeśli bomba znajduje się w pierwszym rzędzie, bardziej prawdopodobne jest, że będzie to również pierwsza kolumna.
Przykład
Zastosujmy kopułę Kimeldorfa i Sampsona do twoich danych, zakładając ponownie, że w komórce można umieścić więcej niż jedną bombę. Kopułę na zależność parametru jest określona jako:
Można myśleć jako analog współczynnika korelacji.θC(u,v)=(u−θ+u−θ−1)−1/θ
θ
Niezależny
Zacznijmy od przypadku słabej zależności, , gdzie mamy następujące prawdopodobieństwa (PMF), a marginesowe pliki PDF są również wyświetlane na panelach po prawej i na dole:θ=0.000001
Możesz zobaczyć, jak w kolumnie 5 prawdopodobieństwo drugiego rzędu ma dwa razy większe prawdopodobieństwo niż pierwszy rząd. Nie jest to sprzeczne z tym, co wydawało się sugerować w swoim pytaniu. Wszystkie prawdopodobieństwa sumują się oczywiście do 100%, podobnie jak marginesy na panelach pasują do częstotliwości. Na przykład kolumna 5 w dolnym panelu pokazuje 1/3, co odpowiada podanym 5 bombom spośród wszystkich 15 zgodnie z oczekiwaniami.
Pozytywna korelacja
Dla silniejszej zależności (korelacja dodatnia) z mamy:θ=10
Ujemna korelacja
To samo dotyczy silniejszej, ale ujemnej korelacji (zależności) :θ=−0.2
Widać, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do 100%, oczywiście. Możesz także zobaczyć, jak zależność wpływa na kształt PMF. Dla dodatniej zależności (korelacji) otrzymujesz najwyższy PMF skoncentrowany na przekątnej, podczas gdy dla ujemnej zależności jest on nie przekątny