Dlaczego suma prawdopodobieństw w ciągłym rozkładzie równomiernym nie jest nieskończonością?

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu jednolitego (ciągłego) pokazano powyżej. Pole pod krzywą wynosi 1 - co ma sens, ponieważ suma wszystkich prawdopodobieństw w rozkładzie prawdopodobieństwa wynosi 1.

Formalnie powyższą funkcję prawdopodobieństwa (f (x)) można zdefiniować jako

1 / (ba) dla x w [a, b]

i 0 w przeciwnym razie

Zastanów się, że muszę wybrać liczbę rzeczywistą między a (powiedzmy 2) ib (powiedzmy 6). To sprawia, że ​​jednolite prawdopodobieństwo = 0,25. Ponieważ jednak w tym przedziale jest nieskończona liczba liczb, czyż suma wszystkich prawdopodobieństw nie powinna się sumować do nieskończoności? Co przeoczam?

Czy f (x) nie jest prawdopodobieństwem wystąpienia liczby x?

$f(x)$opisuje w twoim przykładzie gęstość prawdopodobieństwa, a nie masę prawdopodobieństwa . Ogólnie rzecz biorąc, dla rozkładów ciągłych te wydarzenia -The rzeczy otrzymujemy prawdopodobieństwa dla-są zakresy wartości, takie jak dla obszaru pod krzywą od$a$ do $a+.1$lub z $a$ do $b$(chociaż takie zakresy nie muszą być ciągłe). W przypadku rozkładów ciągłych prawdopodobieństwo wystąpienia dowolnej pojedynczej wartości wynosi zwykle 0.

Ponieważ każdy termin w podsumowaniu jest ważony przez nieskończenie małe d$x$. Znaczenie tego można chyba najłatwiej zrozumieć, ostrożnie przechodząc przez bardzo prosty przykład.

Rozważ użycie sumowania Riemanna do obliczenia obszaru pod następującym prostokątnym obszarem (wybrano prostokąt, aby usunąć aspekt aproksymacji sumowania Riemanna, który nie jest tutaj celem): ] Możemy obliczyć obszar przy użyciu 2 podregionów lub przy użyciu 4 podregionów . W przypadku 2 podregionów (oznaczono$A_i$), obszary podano przez

$$A_1=A_2=5\times 2 = 10$$ podczas gdy w przypadku 4 podregionów (oznaczono $B_i$), obszary podano przez $$B_1=B_2=B_3=B_4=5\times 1 = 5$$ Łączna powierzchnia w obu przypadkach odpowiada $$\sum_{i=1}^2 A_i = \sum_{i=1}^4B_i = 20$$ To wszystko jest dość oczywiste, ale rodzi subtelnie ważne pytanie: dlaczego te dwie odpowiedzi są zgodne ? Intuicyjnie powinno być jasne, że to działa, ponieważ zmniejszyliśmy szerokość drugiego zestawu podregionów. Możemy rozważyć zrobienie tego samego z 8 podregionami, każdy o szerokości$0.5$, i znowu z 16 ... i moglibyśmy kontynuować ten proces, dopóki nie uzyskamy nieskończonej liczby podregionów, każdy o małej szerokości d$x$. Tak długo, jak wszystko jest zawsze odpowiednio ważone, odpowiedzi zawsze powinny się zgadzać. Bez prawidłowego ważenia podsumowanie rzeczywiście byłoby po prostu$\infty$.

Dlatego zawsze zwracam uwagę studentów, że całka to nie tylko symbol $\int$, ale para symboli$\int \text dx$.

Nieprawidłowo interpretujesz rozkład prawdopodobieństwa - jest to nieskończona liczba nieskończenie podzielonych prawdopodobieństw, więc nie możesz powiedzieć, że „prawdopodobieństwo wyciągnięcia wartości 0,5 z rozkładu równomiernego (0, 1)”, ponieważ prawdopodobieństwo to zero - istnieje nieskończona liczba możliwych wartości, które można uzyskać, a wszystkie z nich są jednakowo prawdopodobne, więc jasne jest, że prawdopodobieństwo każdego indywidualnego wyniku jest$\frac{1}{\infty} = 0$^[1] .

Zamiast tego możesz spojrzeć na prawdopodobieństwo szeregu wyników i zmierzyć je za pomocą obszarów (a zatem całek). Na przykład, jeśli rysujesz z jednolitego rozkładu (0, 1) (z pdf$f(x) = 1$ dla $x \in \left[0, 1\right]$ i $f(x) = 0$ w przeciwnym razie), to prawdopodobieństwo, że wynik będzie pomiędzy $0.2$ i $0.3$ jest

$\int_{0.2}^{0.3} f(x)\ dx = \int_{0.2}^{0.3} 1\ dx = \left[x \right]_{0.2}^{0.3} = 0.3 - 0.2 = 0.1$

tzn. masz 10% szansy na uzyskanie wyniku w tym zakresie.

^[1] Przepraszamy za wszystkie osoby mające zawał serca z powodu mojego nadmiernego uproszczenia obliczeń.

Zasadniczo twoje rozumowanie zawodzi w tym założeniu:

Ponieważ jednak w tym przedziale jest nieskończona liczba liczb, czyż suma wszystkich prawdopodobieństw nie powinna się sumować do nieskończoności?

Jest to problem matematyczny znany od czasów paradoksów Elei .

Dwa z jego twierdzeń były takie

1. Strzała nigdy nie osiągnie celu
2. Achilles nigdy nie wyprzedzi żółwia

Oba zostały oparte na twierdzeniu, że można zbudować nieskończoną sekwencję liczb dodatnich (w pierwszym przypadku mówiąc, że strzała musi przelecieć nieskończenie razy połowę pozostałej drogi do celu, w drugim przypadku mówiąc, że Achilles ma aby osiągnąć pozycję, w której wcześniej był żółw, a tymczasem żółw przemieszcza się do nowej pozycji, która staje się naszym kolejnym punktem odniesienia).

Szybko do przodu doprowadziło to do odkrycia nieskończonych kwot.

Tak więc ogólnie suma nieskończona wiele liczb dodatnich niekoniecznie musi być nieskończona ; może to jednak nie być nieskończone tylko wtedy, gdy (skrajne uproszczenie, przepraszam za to) prawie wszystkie liczby w sekwencji są bardzo bliskie zeru, bez względu na to, jak bliskie zeru są.

Infinity gra jeszcze więcej lew. Porządek , w którym dodawanie elementów sekwencji jest zbyt ważne i może doprowadzić do sytuacji, że zmiana kolejności daje różne wyniki!

Dowiedz się więcej o paradoksach nieskończoności . Możesz być zaskoczony.

$f(x)$ opisuje gęstość prawdopodobieństwa i ma jednostkę $\frac{p}{x}$. Stąd za dany x otrzymujesz$f(x) = \frac{1}{b-a}$ w $\frac{p}{x}$jednostek, a nie p, jak szukasz. Jeśli chcesz p, potrzebujesz funkcji rozkładu dla danego zakresu, czyli prawdopodobieństwa p dla xw granicach a i b.

Mam nadzieję, że to ma sens.