Mamy losowy eksperyment z różnymi wynikami tworzących próbkę kosmicznego $\Omega,$ na które patrzymy z zainteresowaniem w niektórych wzorów, zwany wydarzenia $\mathscr{F}.$ Algebry Sigma (lub pola sigma) składają się ze zdarzeń, do których można przypisać miarę prawdopodobieństwa $\mathbb{P}$Pewne właściwości są spełnione, w tym włączenie zbioru zerowego $\varnothing$ i całej przestrzeni próbki oraz algebry, która opisuje związki i przecięcia ze schematami Venna.

Prawdopodobieństwo jest zdefiniowane jako funkcja między $\sigma$ -algebrą a przedziałem $[0,1]$ . W sumie potrójna $(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$ tworzy przestrzeń prawdopodobieństwa .

Czy ktoś mógłby wyjaśnić prostym językiem, dlaczego gmach prawdopodobieństwa zawaliłby się, gdybyśmy nie mieli algebry $\sigma$ ? Są po prostu klinowane w środku z niemożliwie kaligraficznym „F”. Ufam, że są konieczne; Widzę, że wydarzenie różni się od wyniku, ale co by się nie udało bez $\sigma$ -algebr?

Pytanie brzmi: w jakiego rodzaju problemach prawdopodobieństwa definicja przestrzeni prawdopodobieństwa zawierającej $\sigma$ staje się koniecznością?

Ten dokument online na stronie internetowej Dartmouth University zawiera proste wyjaśnienie w języku angielskim. Chodzi o obracający się wskaźnik obracający się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara na okręgu o obwodzie jednostkowym :

Zaczynamy od zbudowania przędzarki, która składa się z koła o obwodzie jednostkowym i wskaźnika, jak pokazano na rycinie. Wybieramy punkt na okręgu i oznaczamy go jako $0$ , a następnie oznaczamy każdy inny punkt na okręgu odległością, powiedzmy $x$ , od $0$ do tego punktu, mierzoną przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Eksperyment polega na obróceniu wskaźnika i zarejestrowaniu etykiety punktu na końcu wskaźnika. Pozwalamy losowej zmiennej $X$ oznaczać wartość tego wyniku. Przestrzeń próbki jest wyraźnie interwałem $[0,1)$. Chcielibyśmy zbudować model prawdopodobieństwa, w którym każdy wynik będzie równie prawdopodobne. Jeśli postępujemy tak, jak [...] w przypadku eksperymentów ze skończoną liczbą możliwych wyników, musimy przypisać prawdopodobieństwo $0$ każdemu wynikowi, ponieważ w przeciwnym razie suma prawdopodobieństw dla wszystkich możliwych wyników nie byłaby równa się 1. (W rzeczywistości sumowanie niepoliczalnej liczby liczb rzeczywistych jest trudną sprawą; w szczególności, aby taka suma miała jakiekolwiek znaczenie, co najwyżej licznie wiele sum może być różna od $0$ ). Jednak jeśli wszystkie przypisane prawdopodobieństwa wynoszą $0$ , a następnie suma wynosi $0$ , a nie $1$ , jak powinno być.

Jeśli więc przypiszemy każdemu punktowi jakiekolwiek prawdopodobieństwo i biorąc pod uwagę, że istnieje (niepoliczalnie) liczba nieskończoności, ich suma będzie sumować się do $> 1$ .

$\sigma$

Teoria prawdopodobieństwa dopuszczenia wszystkich podzbiorów zbiorów niepoliczalnych złamie matematykę

$\mathbb{R}^2$

Ale co, jeśli obszar zestawu zainteresowań nie jest dobrze zdefiniowany?

$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

$\sigma$

$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

$\sigma$$\sigma$

1. Zamknięcie w ramach policzalnych związków.
2. Zamknięcie pod licznymi skrzyżowaniami.
3. Zamknięcie pod uzupełnienia.

$P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

$\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

$\sigma$

$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$to samo wydarzenie na podstawie innego dowodu.

$\sigma$

W praktyce więc po prostu dokonanie tej obserwacji często wystarcza, aby stwierdzić, że rozważa się jedynie zestawy mierzalne Lebesgue'a, aby uzyskać postęp w stosunku do problemu zainteresowania.

Ale czekaj, co to jest zestaw niewymierny?

Obawiam się, że sam mogę rzucić na to trochę światła. Ale paradoks Banacha-Tarskiego (czasem paradoks „słońce i groszek”) może nam pomóc:

Biorąc pod uwagę solidną kulę w przestrzeni trójwymiarowej, istnieje rozkład kuli na skończoną liczbę rozłącznych podzbiorów, które można następnie złożyć w inny sposób, aby uzyskać dwie identyczne kopie oryginalnej kulki. Rzeczywiście, proces ponownego montażu obejmuje jedynie przesuwanie elementów i ich obracanie, bez zmiany ich kształtu. Jednak same kawałki nie są „ciałami stałymi” w zwykłym znaczeniu, ale nieskończonym rozproszeniem punktów. Rekonstrukcja może pracować z zaledwie pięcioma częściami.

Silniejsza forma twierdzenia implikuje, że biorąc pod uwagę dowolne dwa „rozsądne” obiekty stałe (takie jak mała kula i ogromna kula), jedno z nich można ponownie złożyć w drugie. Często określa się to nieformalnie jako „groszek można posiekać i ponownie złożyć w Słońce” i nazwać „paradoksem grochu i Słońca”. 1

$\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$$P(S)>1$

Aby rozwiązać ten paradoks, można dokonać jednej z czterech ustępstw:

1. Głośność zestawu może ulec zmianie po jego obróceniu.
2. Objętość połączenia dwóch rozłącznych zbiorów może różnić się od sumy ich objętości.
3. Aksjomaty teorii Zermelo – Fraenkela z aksjomatem wyboru (ZFC) mogą wymagać zmiany.
4. Niektóre zestawy mogą być oznaczone jako „niewymierne”, a przed mówieniem o jego objętości należałoby sprawdzić, czy zbiór jest „mierzalny”.

$\sigma$

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. Teraz wymaganie zamknięcia dla policzalnych skrzyżowań i związków pozwala nam zadawać policzalne koniunkcje lub rozłączenia. Negowanie pytania reprezentuje zestaw uzupełniający. To daje nam sigma-algebrę.

Tego rodzaju wprowadzenie zobaczyłem najpierw w bardzo dobrej książce Petera Whittle'a „Prawdopodobieństwo przez oczekiwanie” (Springer).

EDYTOWAĆ

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

Ale czy naprawdę potrzebujemy silnego prawa wielkich liczb? Według jednej odpowiedzi tutaj , może nie.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

Pierwszy aksjomat jest taki, że ∅, 𝑋∈𝜎. Cóż, ZAWSZE znasz prawdopodobieństwo, że nic się nie wydarzy (0) lub coś się wydarzy (1).

Drugi aksjomat jest zamknięty pod uzupełnieniami. Pozwól, że dam głupi przykład. Ponownie rozważ rzut monetą z 𝑋 = {𝐻, 𝑇}. Udawaj, że mówię ci, że algebra 𝜎 dla tego flipa to {∅, 𝑋, {𝐻}}. To znaczy wiem o prawdopodobieństwie NIC, Coś się wydarzy i głowy, ale NIE wiem o prawdopodobieństwie ogona. Słusznie nazwałbyś mnie kretynem. Ponieważ jeśli znasz prawdopodobieństwo głów, automatycznie znasz prawdopodobieństwo ogonów! Jeśli znasz prawdopodobieństwo, że coś się wydarzy, wiesz, że to się NIE dzieje (uzupełnienie)!

Ostatni aksjomat jest zamknięty w policzalnych związkach. Dam ci kolejny głupi przykład. Rozważ rzut kości lub 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}. Co jeśli miałbym ci powiedzieć, że algebra for to {∅, 𝑋, {1}, {2}}. Znaczy to, że znam prawdopodobieństwo rzutu 1 lub 2, ale nie znam prawdopodobieństwa wyrzucenia 1 lub 2. Znowu słusznie nazwałbyś mnie idiotą (mam nadzieję, że powód jest jasny). To, co dzieje się, gdy zestawy nie są rozłączne, a to, co dzieje się z niezliczonymi związkami, jest trochę nieporządne, ale mam nadzieję, że możesz spróbować wymyślić kilka przykładów.

$\sigma$

Cóż, nie jest to całkowicie czysta obudowa, ale istnieje kilka solidnych powodów .

Dlaczego probabiliści potrzebują środków?

$\sigma$$\sigma$$P$

Ludzie przynoszą zestaw Vitali i Banach-Tarskiego, aby wyjaśnić, dlaczego potrzebujesz teorii miary, ale myślę, że to jest mylące . Zbiór Vitali odchodzi tylko dla (nietrywialnych) miar, które są niezmienne w tłumaczeniu, których przestrzenie prawdopodobieństwa nie wymagają. A Banach-Tarski wymaga niezmienności rotacji. Analizy ludzie się o nich troszczą, ale probabiliści tak naprawdę nie .

Raison d'être z teorii miary w teorii prawdopodobieństwa jest ujednolicenie traktowania dyskretnych i ciągłych RV, a ponadto pozwalają na przyczepach, które są mieszane i RV, które są po prostu nie.