Oczekiwana wartość logarytmiczna niecentralnego rozkładu wykładniczego

Załóżmy, że jest niecentralny rozkład wykładniczy z lokalizacją i współczynnikiem . Co to jest . $X$ $k$ $\lambda$ $E(\log(X))$

Wiem, że dla odpowiedź brzmi gdzie jest stałą Eulera-Mascheroniego. A co, gdy ? $k=0$ $-\log(\lambda) - \gamma$ $\gamma$ $k > 0$

mean expected-value integral

— Neil G.
źródło

Czy próbowałeś zintegrować się z Mathematica?

Zakładam, że (gdy gęstość jest zapisana jako ,) w przeciwnym razie z prawdopodobieństwem> 0, z przerażającymi konsekwencjami dla .

k > 0

$k > 0$

λ \exp {- λ (x - k)}

$\lambda \exp\{-\lambda(x-k)\}$

x < 0

$x < 0$

E \log x

$\mathbb{E}\log x$

— jbowman

Mam . Mathematica jest szybsza, jeśli użyjesz polecenia do określenia przestrzeni parametrów.

E [\log (X)] = e^{k λ} Γ (0, k λ) + \log (k)

${\mathbb E}[\log(X)]=e^{k\lambda}\Gamma(0,k\lambda)+\log(k)$ Assumptions

Czy górna niepełna funkcja gamma liczy się jako forma zamknięta ? (Dla mnie tak nie jest.) Po prostu wygodnie ukrywa się całkę za pomocą notacji.

— kardynał

@NeilG To jest kod Mathematica Integrate[Log[x + k]*\[Lambda]*Exp[-\[Lambda]*x], {x, 0, \[Infinity]}, Assumptions -> k > 0 && \[Lambda] > 0]. Możesz po prostu skopiować go i wkleić do pliku .nb. Nie jestem pewien, czy Wolfram Alpha pozwala na uwzględnienie ograniczeń.

Pożądaną całkę można zmusić do poddania się za pomocą manipulacji brutalną siłą; tutaj zamiast tego staramy się dać alternatywną pochodną o nieco bardziej probabilistycznym smaku.

Niech będzie niecentralną wykładniczą zmienną losową o parametrze lokalizacji i parametrze częstości . Następnie gdzie . $X \sim \mathrm{Exp}(k,\lambda)$ $k > 0$ $\lambda$ $X = Z + k$ $Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

Zauważ, że i tak, wykorzystując standardowy fakt do obliczenia oczekiwanych nieujemnych zmiennych losowych , Ale na od i tak gdzie ostatnia równość wynika z podstawienia $\log(X/k) \geq 0$

E \log (X / k) = \int_{0}^{\infty} P (\log (X / k) > z) d z = \int_{0}^{\infty} P (Z > k (e^{z} - 1)) d z .

$\newcommand{\e}{\mathbb E}\newcommand{\rd}{\mathrm d}\renewcommand{\Pr}{\mathbb P} \e \log(X/k) = \int_0^\infty \Pr(\log(X/k) > z)\,\rd z = \int_0^\infty \Pr(Z > k(e^z - 1)) \,\rd z \>.$

P (Z > k (e^{z} - 1)) = \exp (- λ k (e^{z} - 1))

$\Pr(Z > k(e^z -1)) = \exp(-\lambda k(e^z - 1))$

z \geq 0

$z \geq 0$

Z \sim E x p (λ)

$Z \sim \mathrm{Exp}(\lambda)$

E \log (X / k) = e^{λ k} \int_{0}^{\infty} \exp (- λ k e^{z}) d z = e^{λ k} \int_{λ k}^{\infty} t^{- 1} e^{- t} d t,

$\e \log(X/k) = e^{\lambda k} \int_0^\infty \exp(-\lambda k e^z) \, \rd z = e^{\lambda k} \int_{\lambda k}^\infty t^{-1} e^{-t} \,\rd t \>,$

t = λ k e^{z}

$t = \lambda k e^z$ , zauważając, że .

d z = d t / t

$\rd z = \rd t / t$

Całka po prawej stronie ostatniego wyświetlacza to po prostu z definicji, a więc co potwierdza obliczenie Mathematica @ Procrastinator w komentarzach do pytania. $\Gamma(0,\lambda k)$

E \log X = e^{λ k} Γ (0, λ k) + \log k,

$\e \log X = e^{\lambda k} \Gamma(0,\lambda k) + \log k \>,$

NB : Równoważna notacja jest również często używana zamiast . $\mathrm E_1(x)$ $\Gamma(0,x)$

— kardynał
źródło

+1 @Michael Chernick Wygląda na to, że nie wszyscy są leniwi;).

To jest naprawdę świetne. Chciałbym tylko zwrócić uwagę na każdego, kto to wdraża, że wiele implementacji niekompletnej funkcji gamma ogranicza pierwszy parametr do ściśle pozytywnego. Tożsamość rozwiązuje ten drobny problem.

Γ (0, z) = - Ei (- z)

$\Gamma(0, z) = -\operatorname{Ei}(-z)$

— Neil G