Dlaczego nazywa się tak oczekiwana wartość?

Rozumiem, w jaki sposób otrzymujemy 3,5 jako oczekiwaną wartość dla rzutu rzetelną 6-stronną kostką. Ale intuicyjnie mogę spodziewać się każdej twarzy z równą szansą 1/6.

Czyż zatem oczekiwana wartość rzutu kostką nie powinna być równa liczbie od 1 do 6 z jednakowym prawdopodobieństwem?

Innymi słowy, na pytanie „jaka jest oczekiwana wartość rzutu rzetelną 6-stronną kostką?”, Należy odpowiedzieć „och, może to być coś pomiędzy 1-6 z równą szansą”. Zamiast tego jest to 3.5.
Intuicyjnie w prawdziwym świecie, czy ktoś może wyjaśnić, jak 3,5 jest wartością, której powinienem się spodziewać po rzuceniu kostką?
Znowu nie chcę formuły ani pochodnej dla oczekiwań.

Wyobraź sobie, że jesteś w Paryżu w 1654 roku i ty i twój przyjaciel obserwujesz grę hazardową opartą na sekwencyjnym rzucaniu sześciościennymi kostkami. Obecnie hazard jest wysoce nielegalny, a żandarmi często popełniają popiersie, a bycie złapanym przy stole ze stosami środków do życia prawie na pewno gwarantuje długi okres w Chateau d'If.

Aby obejść ten problem, ty i twój przyjaciel macie zgodę dżentelmena na zakład postawiony między wami przed ostatnim rzutem kostnym. Zgadza się zapłacić ci pięć livre, jeśli zaobserwujesz dwie szóstki w następnych pięciu rzutach kostkami, i zgadzasz się zapłacić mu taką samą kwotę, jeśli rzucisz dwie, bez żadnej innej akcji, jeśli te kombinacje się nie pojawią.

Ostatni rzut kostką to szóstka, więc jesteś na krawędzi siedzenia, w przenośni. W tej chwili silnie uzbrojeni strażnicy wpadają do jaskini i aresztują wszystkich przy stole, a tłum się rozprasza.

Twój przyjaciel uważa, że ​​zakład zawarty między wami jest teraz nieważny. Uważasz jednak, że powinien zapłacić ci pewną kwotę, ponieważ jedna szóstka została już wyrzucona. Jaki jest sprawiedliwy sposób rozwiązania tego sporu między wami?

(To jest moja interpretacja pochodzenia oczekiwanej wartości, jak przedstawiono tutaj i omówiono bardziej szczegółowo tutaj )

Odpowiedzmy na to pytanie dotyczące wartości godziwej w sposób niesolidny. Kwotę, którą powinien zapłacić Twój przyjaciel, można obliczyć w następujący sposób. Rozważ wszystkie możliwe rzuty czterema kostkami. Niektóre zestawy rolek (a mianowicie zawierające co najmniej jedną szóstkę) spowodują, że twój przyjaciel zapłaci uzgodnioną kwotę. Jednak w innych zestawach (a mianowicie tych niezawierających jednej szóstki) nie otrzymasz żadnych pieniędzy. Jak zrównoważyć możliwość wystąpienia tych dwóch rodzajów rolek? Prosto, uśrednij kwotę, którą otrzymałeś we WSZYSTKICH możliwych rzutach.

Jednak twój przyjaciel (dość mało prawdopodobne) wciąż może wygrać zakład! Musisz wziąć pod uwagę, ile razy dwa pozostałe rzuty zostaną wyrzucone, i uśrednij kwotę, jaką mu zapłacisz, na podstawie liczby wszystkich możliwych rzutów czterech kości. Jest to uczciwa kwota, którą powinieneś zapłacić znajomemu za jego zakład. Tak więc kwota, którą ostatecznie otrzymujesz, to kwota, którą twój przyjaciel powinien ci zapłacić, minus kwota, którą powinieneś zapłacić znajomemu.

Dlatego nazywamy to „wartością oczekiwaną”. Jest to średnia kwota, jaką spodziewasz się otrzymać, jeśli jesteś w stanie zasymulować wydarzenie mające miejsce w wielu jednoczesnych wszechświatach.

Doskonałe pytanie. Jest bardziej subtelny, niż się wydaje. Ma to związek ze zdarzeniem losowym i zmienną losową (liczba, wartość). Twoje zamieszanie wynika z połączenia tych dwóch powiązanych, ale odrębnych pojęć.

Zacznijmy od wydarzenia. Ze sposobu, w jaki sformułowałeś pytanie, wydaje się, że bierzesz pod uwagę wynik rzutu wydarzeniem. Jest losowy, więc możesz napisać jedną z sześciu stron z równą szansą, jak napisałeś. To ma sens.

Jaka jest oczekiwana wartość tego eksperymentu? Oczekiwania są zdefiniowane dla zmiennych losowych (wartości), a nie zdarzeń. Dla ciebie liczby od 1 do 6 na kostkach są po prostu sposobem na rozróżnienie jej boków (w kontekście sformułowania pytania). Wyobraź sobie, że zamiast tego użyłeś liter: A, B, C, D, E i F. Zamień cyfry na litery i powtórz pytanie w następujący sposób:

Innymi słowy, na pytanie „jaka jest oczekiwana wartość rzutu rzetelną 6-stronną kostką?”, Należy odpowiedzieć „och, może być wszystko pomiędzy A i F z równą szansą”

Teraz spróbuj wymyślić oczekiwaną wartość. Nie jest zdefiniowane!

Oczekiwania pojawiają się, gdy definiujesz wartości losowe, takie jak od 1 do 6. Mapujesz wartości do przestrzeni zdarzeń, na przykład, definiujesz, że strona A to 1, strona B to 2 itd. Teraz masz 6 liczb i możesz obliczyć oczekiwane, które wynosi 3,5.

„Każda z wartości równie prawdopodobnych” lub „jakaś wartość najbardziej prawdopodobna” to definicja trybu, a nie wartość oczekiwana.

Wyobraź sobie, że gramy w rzucanie monetami. Za każdym razem, gdy podrzucam głowy, daję ci 1 $ , za każdym razem, gdy podrzucam ogony, dajesz mi 1 $ . Ile pieniędzy spodziewałbyś się wygrać lub przegrać na dłuższą metę ? Kwoty są równe, prawdopodobieństwo ich wyrzucenia jest równe, wartość oczekiwana wynosi zero.

Oczekiwana wartość nazywa się tak, ponieważ jeśli uśrednisz wszystkie rzuty kostkami, spodziewasz się uzyskać tę oczekiwaną wartość w długim okresie . Oczekiwana wartość nie jest związana z żadnym rzutem pojedynczą kostką.

Z historycznego punktu widzenia koncepcja wydawała się pojawiać w różnych krajach, dlatego rozważałbym użycie tego słowa jako wygodnej zbieżności między podobnymi koncepcjami w różnych językach.

Moim punktem wyjścia były doskonałe najwcześniejsze zastosowania symboli w prawdopodobieństwie i statystyce :

Oczekiwanie. Dużego skryptu E użyto do oczekiwania w znanym podręczniku WA Whitwortha Choice and Chance (wydanie piąte) z 1901 r., Ale ani symbol, ani rachunek oczekiwań nie zostały ustalone w literaturze angielskiej dużo później. Na przykład Rietz Mathematical Statistics (1927) użył symbolu E i skomentował, że „oczekiwana wartość zmiennej jest pojęciem, który był bardzo używany przez różnych pisarzy z kontynentu europejskiego ...” Dla pisarzy z kontynentu europejskiego E oznaczał „Erwartung” lub „ espérance (przypis redaktora: mathématique) ”.

Termin ten jest czasem „przypisywany” Huyghensowi, o czym mowa w Huygens Foundations Of Probability :

Ogólnie przyjmuje się, że prawdopodobieństwo Huygensa opiera się na oczekiwaniach. Termin „oczekiwanie” wywodzi się jednak z łacińskiego tłumaczenia traktatu Huygensa przez Van-Schootena. Dosłowne tłumaczenie holenderskiego tekstu Huygensa wyraźniej pokazuje, co tak naprawdę miał na myśli Huygens i jak postępował.

Dodatkowe szczegóły dotyczące Fermata, Pascala można znaleźć w Oczekiwaniu i wczesnych probabilistach .

Co ciekawe, bardziej ogólną koncepcją niż oczekiwana jest lokalizacja . Tak więc koncepcja oczekiwanej wartości ma subtelne implikacje, które są nieco mylące.

$\leq 3$$\$1$$\geq 4$ traci 1 $, działa równie dobrze jak średnia, z tą przewagą, że faktycznie ma wyniki w tym wszechświecie.

Przyczyna nadmiernie ograniczonego związku między terminem „wartość oczekiwana” a „wartość średnia” wydaje się raczej historyczna niż poprawna semantycznie, a nawet szczególnie przekonująca. Oznacza to, że kontekst, w którym obliczona oczekiwana wartość jest spójna, oczekiwanie na zachowanie charakteryzujące lokalizację w zbiorze danych jest ograniczone tylko do niektórych rozkładów danych, a nie innych.

$f$ ma zastosowanie jest zatem możliwe do prześledzenia przez Czebyszewa 1887. Taka jest siła centralnego twierdzenia granicznego, że stało się ono wyrażeniem w nawiasach, aby powiązać wartość oczekiwaną ze średnią wartością, w przeciwieństwie do bardziej ogólnej miary lokalizacji.

Ale co z rozkładami danych, które nie są normalne, dla których inne miary są bardziej stabilne i / lub bardziej reprezentatywne dla tych danych? Na przykład wartość środkowa lub średnia wartość ekstremalna danych z jednolitego rozkładu jest bardziej dokładna i stabilna, tj. Precyzyjna i zbiega się szybciej niż średnia lub mediana tego rozkładu. Dla rozkładów logarytmiczno-normalnych, np. (Znaczna część przetwarzania) danych o dochodach, antylogarytm średniej logarytmu danych ( średnia geometryczna AKA$\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$