Oczekiwana wartość iid zmiennych losowych

Natknąłem się na ten wyprowadzeniu których nie rozumiem: jeśli $X_1, X_2, ..., X_n$ są losowych próbek o wymiarach N zaczerpniętych z populacji średniej $\mu$ i wariancji $\sigma^2$ , a następnie

$\bar{X} = (X_1 + X_2 + ... + X_n)/n$

$E(\bar{X}) = E(X_1 + X_2 + ... + X_n)/n = (1/n)(E(X_1) + E(X_2) + ... + E(X_n))$

$E(\bar{X}) = (1/n)(\mu + \mu + ...n ~\text{times}) = \mu$

Tu się zgubiłem. Zastosowano argument $E(X_i) = \mu$ ponieważ są one identycznie rozłożone. W rzeczywistości to nie jest prawda. Załóżmy, że mam próbkę, $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ a następnie, jeśli losowo wybiorę 2 liczby z zamianą i powtórzę tę procedurę 10 razy, to otrzymam 10 próbek: (5, 4) (2 , 5) (1, 2) (4, 1) (4, 6) (2, 4) (6, 1) (2, 4) (3, 1) (5, 1). Tak to wygląda dla 2 zmiennych losowych $X_1, X_2$ . Teraz, jeśli wezmę wartość oczekiwaną$X_1$ dostaję,

$E(X_1) = 1.(1/10) + 2.(3/10) + 3.(1/10) + 4.(2/10) + 5.(2/10) + 6.(1/10) = 34/10 = 3.4$

Ale oczekiwana wartość populacji wynosi 3,5. Co właściwie jest nie tak w moim rozumowaniu?

Przede wszystkim, nie są próbki. Są to zmienne losowe, jak wskazał Tim. Załóżmy, że przeprowadzasz eksperyment, w którym szacujesz ilość wody w produkcie spożywczym; w tym celu powiedzmy 100 pomiarów zawartości wody dla 100 różnych artykułów spożywczych. Za każdym razem, gdy otrzymujesz wartość zawartości wody. Tutaj zawartość wody jest zmienna losowa i teraz załóżmy, że na świecie istniało ogółem 1000 artykułów spożywczych. 100 różnych artykułów spożywczych będzie nazywanych próbką tych 1000 artykułów spożywczych. Zauważ, że zawartość wody jest zmienną losową i 100 próbek uzyskanej zawartości wody stanowi próbkę. $X_1, X_2,...,X_n$

Załóżmy, że losowo próbkujesz n wartości z rozkładu prawdopodobieństwa, niezależnie i identycznie, przy założeniu, że . Teraz trzeba znaleźć się wartość oczekiwaną ° X . Ponieważ każdy z X i jest pobierany niezależnie i identycznie, oczekiwana wartość każdego z X i wynosi μ . Dlatego otrzymujesz n $E(X)=\mu$$\bar{X}$$X_i$$X_i$$\mu$.$\frac{n\mu}{n} =\mu$

Trzecie równanie w twoim pytaniu jest warunkiem, aby estymator był obiektywnym estymatorem parametru populacji. Warunkiem bycia estymatorem jest bezstronny

gdzie theta jest parametrem populacji, a jest parametrem oszacowanym na podstawie próby.$\bar{\theta}$

W twoim przykładzie populacja wynosi i otrzymałeś próbkę 10 wartości id, które wynoszą { 5 , 2 , 1 , 4 , 4 , 2 , 6 , 2 , 3 , 5 $\{1,2,3,4,5,6\}$$10$$\{5,2,1,4,4,2,6,2,3,5\}$. Pytanie brzmi: w jaki sposób oszacowałbyś średnią populacji przy tej próbie. Zgodnie z powyższym wzorem średnia w próbie jest obiektywnym estymatorem średniej populacji. Bezstronny estymator nie musi być równy rzeczywistej średniej, ale jest tak bliski średniej, jak to tylko możliwe, biorąc pod uwagę te informacje.