Nietypowe rozkłady z zerową skośnością i zerową kurtozą?

Pytanie głównie teoretyczne. Czy są jakieś przykłady rozkładów niestandardowych, które mają pierwsze cztery momenty równe rozkładom normalnym? Czy mogą istnieć w teorii?

— Egor
źródło

Biorąc pod uwagę nawet mieszaninę dwóch normalnych (5 parametrów - 2 średnie, 2 wariancje i prawdopodobieństwo mieszanki), możesz rozwiązać wiele różnych pierwszych czterech chwil.

— Sheridan Grant

Odpowiedzi:

Tak, przykłady zerowej i nadmiernej kurtozy zerowej są stosunkowo łatwe do skonstruowania. (Rzeczywiście, przykłady (a) do (d) poniżej również mają średnią-medianę skośności Pearsona 0)

(a) Na przykład w tej odpowiedzi podano przykład, biorąc 50-50 mieszanki zmiennej gamma (którą nazywam $X$ ) i ujemnej drugiej, która ma gęstość, która wygląda następująco:

dgam 2.3

Wyraźnie wynik jest symetryczny i nie jest normalny. Parametr skali jest tutaj nieistotny, więc możemy sprawić, aby był 1. Staranny wybór parametru kształtu gamma daje wymaganą kurtozę:

Wariancja tej podwójnej gamma ( $Y$ ) jest łatwa do określenia pod względem wariancji gamma, w oparciu o: $\text{Var}(Y)=E(X^2)=\text{Var}(X)+E(X)^2=\alpha+\alpha^2$ .
Czwarty centralny moment zmiennej $Y$ jest taki sam jak $E(X^4)$ , który dla gamma ( $\alpha$ ) wynosi $\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)$

W rezultacie kurtoza jest $\frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha^2(\alpha+1)^2}=\frac{(\alpha+2)(\alpha+3)}{\alpha(\alpha+1)}$ . Jest to $3$ gdy $(\alpha+2)(\alpha+3)=3\alpha(\alpha+1)$ , co dzieje się, gdy $\alpha=(\sqrt{13}+1)/2\approx 2.303$ .

(b) Możemy również stworzyć przykład jako mieszankę w skali dwóch mundurów. Niech $U_1\sim U(-1,1)$ i niech $U_2\sim U(-a,a)$ , i niech $M=\frac12 U_1+\frac12 U_2$ . Oczywiście biorąc pod uwagę, że $M$ jest symetryczny i ma skończony zasięg, musimy mieć $E(M)=0$ ; skośność będzie również wynosić 0, a momenty centralne i momenty surowe będą takie same.

$\text{Var}(M)=E(M^2)=\frac12\text{Var}(U1)+\frac12\text{Var}(U_2)=\frac16[1+a^2]$ .

Podobnie $E(M^4)=\frac{1}{10} (1+a^4)$ więc kurtoza wynosi $\frac{\frac{1}{10} (1+a^4)}{[\frac16 (1+a^2)]^2}=3.6\frac{1+a^4}{(1+a^2)^2}$

Jeśli wybierzemy $a=\sqrt{5+\sqrt{24}}\approx 3.1463$ , następniewynosi 3, a gęstość wygląda następująco:

Niech $Y$ będzie mieszaniną 50-50 $\sqrt{X_1}$ i $-\sqrt{X_2}$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

$E(Y)=0$ $E(|Y|)$ $E(X_1)$

$Var(Y)=E(Y^2)=E(X_1)=\lambda$

by symmetry (and the fact that the absolute 3rd moment exists) skew=0

4th moment: $E(Y^4) = E(X_1^2) = \lambda+\lambda^2$

kurtosis = $\frac{\lambda+\lambda^2}{\lambda^2}= 1+1/\lambda$

so when $\lambda=\frac12$ , kurtosis is 3. This is the case illustrated above.

(d) all my examples so far have been symmetric, since symmetric answers are easier to create -- but asymmetric solutions are also possible. Here's a discrete example.

enter image description here

Jak widać, żaden z tych przykładów nie wygląda szczególnie „normalnie”. Łatwo byłoby stworzyć dowolną liczbę zmiennych dyskretnych, ciągłych lub mieszanych o takich samych właściwościach. Podczas gdy większość moich przykładów została zbudowana jako mieszanki, w mieszankach nie ma nic specjalnego , poza tym, że są one często wygodnym sposobem tworzenia rozkładów z właściwościami tak, jak chcesz, trochę jak budowanie z Lego.

Ta odpowiedź zawiera dodatkowe informacje na temat kurtozy, które powinny uczynić niektóre rozważania związane z konstruowaniem innych przykładów nieco jaśniej.

Możesz dopasować więcej momentów w podobny sposób, choć wymaga to więcej wysiłku. Ponieważ jednak istnieje normalna MGF, nie można dopasować wszystkich całkowitych momentów normalnych z pewnym niestandardowym rozkładem, ponieważ oznaczałoby to dopasowanie ich MGF, co sugeruje, że drugi rozkład jest również normalny.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

-4

Dobre punkty daje Glen_b. Chciałbym jedynie dodać rozważenie funkcji delty Diraca jako dodatkowego śrutu dla młyna. Jak zauważa Wikipedia: „DDF jest funkcją uogólnioną lub rozkładem na rzeczywistej linii liczbowej, która jest wszędzie zerowa, z wyjątkiem zera, z całką jednego na całej linii rzeczywistej” w konsekwencji, że wszystkie wyższe momenty DDF są zero.

Paul Dirac stosuje to do mechaniki kwantowej w swojej książce The Principles of Quantum Mechanics z 1931 roku, ale jej początki sięgają Fouriera, Lesbesgue, Cauchy i innych. DDF ma również fizyczne analogi w modelowaniu rozkładu, np. Trzask nietoperza uderzającego w baseball.

— Mike Hunter
źródło

What has this to do with the question?

— kjetil b halvorsen

The question is explicit about making the "first four moment[s] equal to those of [a] normal [distribution]". You haven't a hope of even matching the second central moment when you use a delta distribution.

— whuber

Perhaps you can give an example where you match moments of a standard normal (mean 0, variance 1,

E [(X - μ)^{3}] = E (X^{3}) = 0

$E[(X-\mu)^3]=E(X^3)=0$ and

E [(X - μ)^{4}] = E (X^{4}) = 3

$E[(X-\mu)^4]=E(X^4)=3$ ). If you do that, it will answer the questions being raised and clarify your point.

— Glen_b -Reinstate Monica

@A. Donda: Excess kurtosis is the 4th standardized moment about the mean minus 3, i.e.

E (X - E X)^{4} / (E (X - E X)^{2})^{2}

$\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^4 / (\mathrm{E}(X - \mathrm{E} X)^2)^2$ , so I don't think you can say it's -3 in the case of Dirac's delta function - rather it's undefined, as the variance is zero.

— Scortchi - Reinstate Monica

@Mike Hunter: I think the questions in the title & body are equivalent: once you have a distribution with defined skewness & excess kurtosis both equal to zero, matching mean & variance to any Gaussian you want is just shifting & stretching. I stress defined because both skewness & kurtosis are standardized moments, so the Dirac delta function doesn't have them.

— Scortchi - Reinstate Monica