Pytanie związane z Borel-Cantelli Lemma

Uwaga:

Borel-Cantelli Lemma tak mówi

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Następnie,

jeśli

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

za pomocą Borel-Cantelli Lemma

Chcę to pokazać

po pierwsze,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ Istnieje

i po drugie,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Pomóż mi pokazać te dwie części. Dziękuję Ci.

— B11b
źródło

Nie, lemat Borela-Cantellego nie mówi (wszystko), że przynajmniej nie bez dalszych założeń.

— kardynał

@ Cardinal, jak mogę wyświetlić te dwa stwierdzenia? proszę, możesz mi to wyjaśnić? nie mam dość pomysłu. będę zadowolony, jeśli pokażesz solutinowy sposób :) dziękuję

— B11b

Dodano jedno „dalsze założenie”.

— Zen

Drobna uwaga: jak wspomniano tutaj , na przykład możemy sobie

A_{n}

$A_n$

— poradzić z parą

Żadne z tych twierdzeń nie jest prawdziwe.

Niech będzie szansą na trafienie w rzut monetą, z prawdopodobieństwem gdy jest nieparzyste i gdy jest parzyste. Następnie: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Jednak najwyraźniej nie istnieje. Najlepsze, co możesz wyciągnąć, to . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
źródło