Czy prawdopodobieństwo błędów typu I i II jest ujemnie skorelowane?

11

W klasie statystycznej elementarnej, dla której byłem TA, profesor stwierdził, że wraz ze wzrostem prawdopodobieństwa błędu typu I maleje prawdopodobieństwo błędu typu II , a odwrotność jest prawdziwa. To sugeruje mi, że . $\alpha$ $\beta$ $\rho_{\alpha, \beta} < 0$

Ale jak to udowodnić w ramach ogólnego testu hipotez? Czy to stwierdzenie jest w ogóle prawdziwe?

Mógłbym spróbować konkretnego przypadku (powiedzmy i ), ale oczywiście nie jest to wystarczająco ogólne, aby poradzić sobie z tym pytaniem. $H_0: \mu = \mu_0$ $H_1: \mu < \mu_0$

probability hypothesis-testing type-i-and-ii-errors

— Klarnecista
źródło

13

Ilości te ( i ) nie są zmiennymi losowymi, więc waham się mówić o ich korelacji Pearsona; Nie jestem pewien, w jakim sensie by to miało zastosowanie. $\alpha$ $\beta$

Oba są negatywnie powiązane w tym sensie, że - mówiąc ogólnie (ale patrz poniżej *) - i utrzymując inne rzeczy (takie jak wielkość próby i wielkość efektu, przy której obliczasz ) równe - jeśli zmienisz , to przesunie się w przeciwnym kierunku (szczególnie w typowych sytuacjach jest funkcją ; określa wystarczającą ilość, aby określić i będzie zależeć od - i ta relacja w najbardziej uzasadnionych sytuacjach - rodzaju chciałbym użyć w rzeczywistym teście - być negatywnie zależny). $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha$

Rozważmy na przykład krzywą mocy. Przesunięcie spowoduje przesunięcie krzywej mocy ( ) w górę lub w dół, więc w pewnym punkcie krzywej (czyli odległość między krzywą a 1) zmniejsza się wraz ze wzrostem . Oto przykład testu dwustronnego (powiedzmy test t). $\alpha$ $1-\beta$ $\beta$ $\alpha$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Obudowa z jednym ogonem jest podobna, ale możesz skupić się na prawej połowie powyższego obrazu (dwie krzywe w lewej połowie obrazu byłyby skierowane w dół do zera)

* istnieją sytuacje, w których nie musi tak być. Rozważ przetestowanie jednolitości (0,1) za pomocą testu Kołmogorowa-Smirnowa.

Rozważmy możliwość, że zamiast tego mamy jednolity (a nawet dowolny rozkład z pewnym prawdopodobieństwem poza przedziałem jednostkowym). $(0,1+\epsilon)$ $^\dagger$

Jeśli zaobserwuję wartość, która nie leży w (0,1), test Kołmogorowa-Smirnowa niekoniecznie odrzuca wartość zerową. Ale mogę wykonać drugi test (nazwijmy go testem KS *), który jest podobny do Kołmogorowa-Smirnowa, z tym wyjątkiem, że gdy obserwujemy wartość poza (0,1), również odrzucamy zerową wartość, niezależnie od tego, czy zwykła statystyka osiąga wartość krytyczną.

Następnie dla każdej alternatywy, która ma jakiekolwiek prawdopodobieństwo poza (0,1), zmniejszyliśmy poziom błędu Typu II (od tego dla zwykłego testu KS) bez zmiany w ogóle. $\alpha$

$\dagger$ (zwykle nie jest to świetny pomysł na użycie KS w takim przypadku, więc jeśli wiesz, że jest taka możliwość, musisz dokładnie przemyśleć alternatywy)

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło

3

$X$ $f_0(x)$ $f_1(x)$ $H_0$ $H_1$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$ $\Gamma_0 \cap \Gamma_1 = \emptyset$ $\Gamma_0 \cup \Gamma_1 = \mathbb R$ $H_i$ $X \in \Gamma_i$

\begin{aligned} (1) & P (Type I error) & = \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x \\ (2) & P (Type II error) & = \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x . \end{aligned}

$\begin{align} P(\text{Type I error}) &= \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx\tag{1}\\ P(\text{Type II error}) &= \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align}$

Γ_{0}^{'}

$\Gamma_0^\prime$

Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1^\prime$

Γ_{1} \subset Γ_{1}^{'}

$\Gamma_1 \subset \Gamma_1^\prime$

Γ_{0}^{'} \subset Γ_{0}

$\Gamma_0^\prime \subset \Gamma_0$

\int_{Γ_{1}^{'}} f_{0} (x) d x \geq \int_{Γ_{1}} f_{0} (x) d x

$\int_{\Gamma_1^\prime}f_0(x)\,\mathrm dx \geq \int_{\Gamma_1}f_0(x)\,\mathrm dx$

\int_{Γ_{0}^{'}} f_{1} (x) d x \leq \int_{Γ_{0}} f_{1} (x) d x

$\int_{\Gamma_0^\prime}f_1(x)\,\mathrm dx \leq \int_{\Gamma_0}f_1(x)\,\mathrm dx$

— Dilip Sarwate
źródło

1

$\alpha$ $\beta$ $\alpha$ $\beta$

$\alpha$ $\beta$

— Cort Ammon
źródło

1

„Związek jest tylko” - wydaje się, że koniec odpowiedzi został ucięty?

— Silverfish,