Zrozumienie testu chi-kwadrat i rozkładu chi-kwadrat

Próbuję zrozumieć logikę testu chi-kwadrat.

Test chi-kwadrat to . jest następnie porównywany z rozkładem chi-kwadrat, aby znaleźć wartość p. w celu odrzucenia lub nie hipotezy zerowej. : obserwacje pochodzą z rozkładu, którego użyliśmy do stworzenia naszych oczekiwanych wartości. Na przykład moglibyśmy sprawdzić, czy prawdopodobieństwo uzyskania jest podane przez tak jak się spodziewamy. Przerzucamy więc 100 razy i znajdujemy i . Chcemy porównać nasze wyniki z oczekiwaniami ( ). Równie dobrze moglibyśmy zastosować rozkład dwumianowy, ale nie o to chodzi w pytaniu… Pytanie brzmi: $\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$ $\chi ^2$ $H_0$ head $p$ $n_H$ Heads $1-n_H$ tails $100 \cdot p$

Czy możesz wyjaśnić, dlaczego zgodnie z hipotezą zerową ma rozkład chi-kwadrat? $\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

Wszystko, co wiem o rozkładzie chi-kwadrat, to to, że rozkład chi-kwadrat stopnia jest sumą kwadratowego standardowego rozkładu normalnego. $k$ $k$

— Remi.b
źródło

Nie robi tego: jest to przybliżenie. (Dużo) więcej na ten temat pojawia się w wątku na stronie stats.stackexchange.com/questions/16921/… .

— whuber

To może okazać się interesujące Karl Pearson i test chi-kwadrat, (Placket, 1983) {pdf}

— Avraham

Powiązane pytanie dotyczące tego, dlaczego rozkład chi-kwadrat jest wykorzystywany do sprawdzania poprawności

— Silverfish,

Równie dobrze moglibyśmy zastosować rozkład dwumianowy, ale nie o to chodzi w pytaniu…

Niemniej jednak jest to nasz punkt wyjścia nawet do twojego rzeczywistego pytania. Omówię to nieco nieformalnie.

Rozważmy bardziej ogólnie przypadek dwumianowy:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

Załóżmy, że i są takie, że jest dobrze aproksymowane normą z tą samą średnią i wariancją (niektóre typowe wymagania są mniejsze niż nie jest małe, lub że nie jest mały). $n$ $p$ $Y$ $\min(np,n(1-p))$ $np(1-p)$

Wtedy będzie w przybliżeniu . Tutaj jest liczbą sukcesów. $(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$ $\sim\chi^2_1$ $Y$

Mamy i . $E(Y) = np$ $\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(W przypadku testowania jest znane, a jest określone w . Nie dokonujemy żadnych oszacowań.) $n$ $p$ $H_0$

Więc będzie w przybliżeniu . $(Y-np)^2/np(1-p)$ $\sim\chi^2_1$

Zauważ, że . Zauważ też, że . $(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$ $\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

Stąd $\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

Która jest tylko statystyką chi-kwadrat dla przypadku dwumianowego.

W takim przypadku statystyka chi-kwadrat powinna mieć rozkład kwadratu (w przybliżeniu) zmiennej losowej o normalnej normie.

— Glen_b - Przywróć Monikę
źródło