Czy istnieje sposób na uzyskanie odpowiedzi impulsowej układu dyskretnego, po prostu wiedząc, że jest on odpowiedzią na funkcję krokową jednostki dyskretnej?

10

W ciągłym czasie było to możliwe;

u (t) ⟶ system ⟶ y (t) ⟹ δ (t) = \frac{d u (t)}{d t} ⟶ system ⟶ \frac{d y (t)}{d t} = h (t)

$u(t){\longrightarrow} \boxed{\quad\textrm{system}\quad} {\longrightarrow} y(t)\implies \delta(t)=\frac{du(t)}{dt}{\longrightarrow}\boxed{\quad\textrm{system}\quad}{\longrightarrow} \frac{dy(t)}{dt}=h(t)$

Czy to samo dotyczy dyskretnego systemu czasu, tj.

δ [t] = \frac{d u [t]}{d t} where: {\begin{cases} δ [t] & is the discrete time delta \\ u [t] & is the discrete time unit step function \end{cases}

$\delta[t]=\frac{du[t]}{dt} \quad\textrm{where:}\begin{cases} \delta[t] &\textrm{is the discrete time delta}\\ u[t] & \textrm{is the discrete time unit step function}\end{cases}$

Czy istnieje sposób na uzyskanie odpowiedzi impulsowej układu dyskretnego, po prostu znając odpowiedź kroku jednostki dyskretnej?

discrete-signals linear-systems

— pyler
źródło

1

Niesamowite pytanie! Witamy w DSP.SE. Trzymaj się i wnieś swój wkład!

— Phonon

7

Prostsza wersja odpowiedzi Phonon jest następująca.

Załóżmy, że oznacza odpowiedź systemu na funkcję kroku jednostkowego. Następnie, jak omówiono w tej odpowiedzi , ogólnie jest sumą skalowanych i opóźnionych w czasie kopii odpowiedzi impulsowej, aw tym konkretnym przypadku skalowanie nie jest wymagane; tylko opóźnienia czasowe. Zatem gdzie każdy kolumna po prawej to (nieskalowana i) opóźniona w czasie odpowiedź impulsowa. W ten sposób łatwo możemy uzyskać, że $y$ $y$

\begin{aligned} y [0] & = h [0] \\ y [1] & = h [1] + h [0] \\ y [2] & = h [2] + h [1] + h [0] \\ y [3] & = h [3] + h [2] + h [1] + h [0] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} y[0] &= h[0]\\ y[1] &= h[1] + h[0]\\ y[2] &= h[2] + h[1] + h[0]\\ y[3] &= h[3] + h[2] + h[1] + h[0]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$

\begin{aligned} h [0] & = y [0] \\ h [1] & = y [1] - y [0] \\ h [2] & = y [2] - y [1] \\ ⋮ & = ⋮ \\ h [n] & = y [n] - y [n - 1] \\ ⋮ & = ⋮ \end{aligned}

$\begin{align} h[0] &= y[0]\\ h[1] &= y[1]-y[0]\\ h[2] &= y[2]-y[1]\\ \vdots~ &= ~\vdots\\ h[n] &~= y[n] - y[n-1]\\ \vdots~ &= ~\vdots \end{align}$ bez wzmianki o filtrach, odwróceniach, zwojach, integracji, operatorach i tym podobnych, tylko proste konsekwencje definicji liniowego systemu niezmiennego w czasie.

— Dilip Sarwate
źródło

Wyraźnie zrobiłeś to dłużej niż ja =)

— Phonon

6

Tak, to samo dotyczy przypadku systemów dyskretnych. W tym przypadku operacja różnicowania zostaje zastąpiona różnicą pierwszego rzędu. Nie wydaje się, że ma uniwersalny symbol, ale nazwijmy to . Ta operacja jest równoważna filtrowaniu sygnału za pomocą . Nazwijmy ten filtr . Oznaczę przekonanie, że symbol . $D(\cdot)$ $y[n] = x[n] - x[n-1]$ $d[n]$ $*$

$u[n]$ $\delta[n]$ $u[n]$ $u[n] * d[n] = \delta[n]$

a [n] * b [n] = b [n] * a [n]

$a[n]*b[n] = b[n]*a[n]$

(a [n] * b [n]) * c [n] = a [n] * (b [n] * c [n])

$\left(a[n] * b[n]\right) * c[n] = a[n] * \left(b[n] * c[n]\right)$

x [n] = δ [n] * x [n] = u [n] * d [n] * x [n] = d [n] * u [n] * x [n] = d [n] * (u [n] * x [n])

$x[n] = \delta[n] * x[n] = u[n] * d[n] * x[n] = d[n] * u[n] * x[n] = d[n] * \left(u[n] * x[n]\right)$

$x[n]$ $\left(u[n] * x[n]\right)$

— Phonon
źródło

2

Założenia:

$h(t)$ $s(t)$
$h[n]$ $s[n]$

Intuicyjnie mówiąc, integracja w ciągłej dziedzinie czasu jest równoznaczna z sumowaniem w dyskretnej dziedzinie czasu. Podobnie, pochodna w ciągłej dziedzinie czasu jest równoważna skończonej różnicy w dziedzinie dyskretnej.

$u$ $\delta$

$u(t) = \int \delta(t)$
$u[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \delta[n-k]$

$s$ $h$

$s(t) = \int h(t)$
$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty} h[n-k]$

Teraz, jeśli dokładnie przyjrzysz się ostatniemu równaniu:

s [n] = \sum_{k = 0}^{\infty} h [n - k]

$s[n] = \sum_{k=0}^{\infty}h[n-k]$

$h[n]$ $s[n]$ $s[n-1]$

h [n] = s [n] - s [n - 1]

$h[n] = s[n] - s[n-1]$

— nurabha
źródło