2
Regularność języków jednoargumentowych o długości słowa suma dwóch resp. trzy kwadraty
Myślę o językach jednoargumentowych LkL.kL_k, gdzie LkL.kL_k jest zbiorem wszystkich słów, których długość jest sumą kkkkwadraty. Formalnie: Lk={an∣n=∑i=1kni2,ni∈N0(1≤i≤k)}L.k={zan∣n=∑ja=1knja2),nja∈N.0(1≤ja≤k)}L_k=\{a^n\mid n=\sum_{i=1}^k {n_i}^2,\;\;n_i\in\mathbb{N_0}\;(1\le i\le k)\} Łatwo to pokazać L1={an2∣n∈N0}L.1={zan2)∣n∈N.0}L_1=\{a^{n^2}\mid n\in\mathbb{N_0}\}nie jest regularny (np. z Pumping-Lemma). Ponadto wiemy, że każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów, co implikuje, że dlak≥4k≥4k\ge 4 wszystkie języki LkL.kL_k …