Pytania otagowane jako taylor-series

Na przykład, ma funkcję celu modelu XGBoost w sprawie ttt „tą iterację procedury: L(t)=∑i=1nℓ(yi,y^(t−1)i+ft(xi))+Ω(ft)L(t)=∑i=1nℓ(yi,y^i(t−1)+ft(xi))+Ω(ft)\mathcal{L}^{(t)}=\sum_{i=1}^n\ell(y_i,\hat{y}_i^{(t-1)}+f_t(\mathbf{x}_i))+\Omega(f_t) gdzie ℓℓ\ell jest utrata funkcji, ftftf_t jest ttt -tym wyjście drzewa i ΩΩ\Omega jest regularyzacji. Jednym z (wielu) kluczowych kroków do szybkiego obliczenia jest przybliżenie: L(t)≈∑i=1nℓ(yi,y^(t−1)i)+gtft(xi)+12hif2t(xi)+Ω(ft),L(t)≈∑i=1nℓ(yi,y^i(t−1))+gtft(xi)+12hift2(xi)+Ω(ft),\mathcal{L}^{(t)}\approx \sum_{i=1}^n\ell(y_i,\hat{y}_i^{(t-1)})+g_tf_t(\mathbf{x}_i)+\frac{1}{2}h_if_t^2(\mathbf{x}_i)+\Omega(f_t), w którym gigig_i i hihih_i są to pierwsze i …

28 optimization  loss-functions  boosting  xgboost  taylor-series 

Od niechcenia czytałem artykuł (z ekonomii), który miał następujące przybliżenie dla :log(E(X))log⁡(E(X))\log(E(X)) ,log(E(X))≈E(log(X))+0.5var(log(X))log⁡(E(X))≈E(log⁡(X))+0.5var(log⁡(X))\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X)) które według autora jest dokładne, jeśli X jest log-normalny (co wiem). Nie wiem, jak wyprowadzić to przybliżenie. Próbowałem obliczyć przybliżenie Taylora drugiego rzędu i wymyśliłem tylko to wyrażenie: log(E(X))≈E(log(X))+0.5var(X)E(X)2log⁡(E(X))≈E(log⁡(X))+0.5var(X)E(X)2\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}

11 lognormal  approximation  taylor-series