Przybliżony

Od niechcenia czytałem artykuł (z ekonomii), który miał następujące przybliżenie dla :$\log(E(X))$

,$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$

które według autora jest dokładne, jeśli X jest log-normalny (co wiem).

Nie wiem, jak wyprowadzić to przybliżenie. Próbowałem obliczyć przybliżenie Taylora drugiego rzędu i wymyśliłem tylko to wyrażenie:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

Według metody Delta wariancja funkcji RV jest w przybliżeniu równa wariancji RV razy kwadrat pochodnej obliczonej na podstawie średniej. W związku z tym

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

i masz to. Twoje pochodzenie było oczywiście słuszne.