Rozkład wartości ekstremalnych

Jeśli element ma rozkład normalny, średnia również rozkład normalny. Co z minimum i maksimum?

Powinieneś spojrzeć na statystyki zamówień . Oto bardzo krótki przegląd.

Niech będzie próbką o wielkości pobraną z populacji z funkcją rozkładu i funkcją gęstości prawdopodobieństwa . Zdefiniuj , gdzie oznacza p statystyczną kolejności próbki , to jest, jego tej najmniejszej wartości.$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

Można wykazać, że łączna funkcja gęstości prawdopodobieństwa wynosi$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ jeśli i przeciwnym razie.$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

Całkując poprzednie równanie otrzymujemy

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

W szczególności mamy dla minimum i maksimum

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

Możesz także przeczytać o uogólnionym rozkładzie wartości ekstremalnej (GEV) . Okazuje się, że jako rozkład (przesunięty i skalowany) maksymalnej wartości próbki jest zbieżny z jednym z trzech specjalnych przypadków rozkładu GEV.$n\rightarrow\infty$

Suma Gaussów jest gaussowska. Dlatego średnia jest normalna. Rozkład dowolnej funkcji nieliniowej (skończonej liczby) Gaussów nie musi być gaussowski i zwykle tak nie jest. Tak jest w przypadku funkcji maksymalnej. Hothorn jest dobrym miejscem na początek, aby przybliżyć maksimum wielowymiarowego gaussa .