Jaki jest cel funkcji charakterystycznych?

Mam nadzieję, że ktoś wyjaśni laikowi, czym jest charakterystyczna funkcja i jak jest ona wykorzystywana w praktyce. Czytałem, że jest to transformata Fouriera w pdf, więc chyba wiem, co to jest, ale nadal nie rozumiem jej celu. Gdyby ktoś mógł podać intuicyjny opis jego przeznaczenia i być może przykład tego, jak jest zwykle używany, byłoby to fantastyczne!

Jeszcze jedna uwaga: widziałem stronę Wikipedii , ale najwyraźniej jestem zbyt gęsty, by zrozumieć, co się dzieje. To, czego szukam, to wyjaśnienie, które ktoś, kto nie jest zanurzony w cudach teorii prawdopodobieństwa, może powiedzieć informatyk.

Dawno temu ludzie używali tabel logarytmicznych, aby szybciej pomnożyć liczby. Dlaczego to? Logarytmy konwertują mnożenie na dodawanie, ponieważ . Tak więc w celu pomnożenia dwóch dużych liczb i , znalazłeś ich logarytmy logarytmy, dodał, , a następnie spojrzał w górę na innym stole.$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$$a$$b$$z = \log(a) + \log(b)$$\exp(z)$

Teraz charakterystyczne funkcje działają podobnie do rozkładów prawdopodobieństwa. Załóżmy, że ma rozkład a ma rozkład , a i są niezależne. Następnie rozkład jest uwypuklony w i , .$X$$f$$Y$$g$$X$$Y$$X+Y$$f$$g$$f * g$

Teraz funkcja charakterystyczna jest analogią „sztuczki z tablicy logarytmicznej” dla splotu, ponieważ jeśli jest funkcją charakterystyczną dla , to zachodzi następująca relacja:$\phi_f$$f$

Ponadto, podobnie jak w przypadku logarytmów, łatwo jest znaleźć odwrotność funkcji charakterystycznej: biorąc pod uwagę gdzie jest nieznaną gęstością, możemy uzyskać przez odwrotną transformatę Fouriera .$\phi_h$$h$$h$$\phi_h$

Funkcja charakterystyczna przekształca splot w mnożenie dla funkcji gęstości w taki sam sposób, w jaki logarytmy przekształcają mnożenie na sumę dla liczb. Obie transformacje przekształcają stosunkowo skomplikowaną operację w stosunkowo prostą.

@ charles.y.zheng i @cardinal dali bardzo dobre odpowiedzi, dodam moje dwa centy. Tak, charakterystyczna funkcja może wyglądać jak niepotrzebna komplikacja, ale jest to potężne narzędzie, które może przynieść ci wyniki. Jeśli próbujesz udowodnić coś za pomocą funkcji rozkładu skumulowanego, zawsze zaleca się sprawdzenie, czy nie można uzyskać wyniku za pomocą funkcji charakterystycznej. Czasami daje to bardzo krótkie dowody.

Chociaż początkowo funkcja charakterystyczna wygląda na nieintuicyjny sposób pracy z rozkładami prawdopodobieństwa, istnieją pewne potężne wyniki bezpośrednio z nią związane, co oznacza, że ​​nie można odrzucić tej koncepcji jako zwykłej rozrywki matematycznej. Na przykład mój ulubiony wynik w teorii prawdopodobieństwa jest taki, że każda nieskończenie podzielna dystrybucja ma unikalną reprezentację Lévy – Khintchine . W połączeniu z faktem, że nieskończenie podzielne rozkłady są jedynym możliwym rozkładem dla granic sum niezależnych zmiennych losowych (wyłączając przypadki dziwne), jest to głęboki wynik, na podstawie którego wyprowadza się twierdzenie o granicy centralnej.

Celem charakterystycznych funkcji jest to, że można je wykorzystać do wyprowadzenia właściwości rozkładów w teorii prawdopodobieństwa. Jeśli nie jesteś zainteresowany takimi pochodnymi, nie musisz uczyć się o charakterystycznych funkcjach.

Cechą charakterystyczną jest transformata Fouriera funkcji gęstości rozkładu. Jeśli masz jakąkolwiek intuicję dotyczącą transformacji Fouriera, ten fakt może być pouczający. Powszechna historia o transformatach Fouriera polega na tym, że opisują one funkcję „w przestrzeni częstotliwości”. Ponieważ gęstość prawdopodobieństwa jest zwykle niemodalna (przynajmniej w świecie rzeczywistym lub w modelach wykonanych o świecie rzeczywistym), nie wydaje się to szczególnie interesujące.

Transformacja Fouriera jest rozkładem funkcji (nieokresowej) na jej częstotliwości. Interpretacja gęstości?

Transformacja Fouriera jest ciągłą wersją szeregu Fouriera, ponieważ żadna gęstość nie jest okresowa, bez wyrażenia takiego jak „szereg charakterystyczny”.