Funkcje niezależnych zmiennych losowych

Czy twierdzenie, że funkcje niezależnych zmiennych losowych są same w sobie niezależne, prawda?

Widziałem ten wynik często używany pośrednio w niektórych dowodach, na przykład w dowodzie niezależności między średnią próbki a wariancją próby rozkładu normalnego, ale nie byłem w stanie znaleźć uzasadnienia. Wydaje się, że niektórzy autorzy uważają to za dane, ale nie jestem pewien, czy tak jest zawsze.

Najbardziej ogólny i abstrakcyjny definicję niezależności sprawia, że to stwierdzenie banalne podczas dostarczania ważny warunek kwalifikacyjny: że dwie zmienne losowe są niezależne oznacza sigma-algebry one generują są niezależne. Ponieważ sigma-algebra generowana przez mierzalną funkcję sigma-algebry jest subalgebrą, tym bardziej wszelkie mierzalne funkcje tych zmiennych losowych mają niezależne algebry, stąd funkcje te są niezależne.

(Gdy funkcja nie jest mierzalna, zwykle nie tworzy nowej zmiennej losowej, więc koncepcja niezależności nawet by nie miała zastosowania).

Rozpakujmy definicje, aby zobaczyć, jakie to proste. Przypomnijmy, że zmienna losowa $X$ jest funkcją o wartościach rzeczywistych zdefiniowaną w „przestrzeni próbki” $\Omega$ (zbiór wyników badanych za pomocą prawdopodobieństwa).

1. Zmienna losowa $X$ jest badana na podstawie prawdopodobieństwa, że ​​jej wartość mieści się w różnych przedziałach liczb rzeczywistych (lub, bardziej ogólnie, zbiorów zbudowanych w prosty sposób poza przedziałami: są to mierzalne zestawy liczb rzeczywistych Borela).

2. Odpowiadająca każdej Borel mierzalnym jest wydarzeniem X * ( I ), składający się z wszystkimi wynikami Ohm , dla których X ( Ohm ) leży w I .$I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. Sigma-algebra wygenerowana przez jest określona przez zbiór wszystkich takich zdarzeń.$X$

4. Naiwna definicja mówi, że dwie losowe zmienne i Y są niezależne „gdy ich prawdopodobieństwa się mnożą”. To znaczy, kiedy jestem jednym zestawem mierzalnym Borela, a J jest innym$X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. Ale w języku zdarzeń (i algebr sigma) jest to to samo co

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

Rozważmy teraz dwie funkcje i załóżmy, że f ∘ X a g ∘ Y są zmiennymi losowymi. (Okrąg jest kompozycją funkcjonalną: ( f ∘ X ) ( ω ) = f ( X ( ω ) ) . To właśnie oznacza, że f jest „funkcją zmiennej losowej”.) Uwaga - to tylko elementarne teoria mnogości - to$f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

Innymi słowy, każde zdarzenie wygenerowane przez (które znajduje się po lewej stronie) jest automatycznie zdarzeniem wygenerowanym przez $f\circ X$$X$ (pokazanym przez formę po prawej stronie). Dlatego (5) automatycznie obowiązuje dla i g ∘ Y : nie ma nic do sprawdzenia!$f\circ X$$g\circ Y$

Uwaga: Możesz „wszędzie” o wartości rzeczywistej zastąpić „wartościami w ” bez potrzeby zmiany czegokolwiek innego w jakikolwiek istotny sposób. Dotyczy to przypadku zmiennych losowych o wartości wektorowej.$\mathbb{R}^d$

Rozważ ten „mniej zaawansowany” dowód:

Niech , gdzie X , Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, a f , g są funkcjami mierzalnymi. Następnie: P { f ( x ) ≤ x  i  g ( Y ) $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$ Używając niezależności X i Y , P ( { X ∈ { w ∈ R n : f (

Chodzi o to, aby zauważyć, że zbiór więc właściwości poprawne dla X są rozszerzone na f ( X ) i to samo dzieje się dla

$g(X)$ i $h(Y)$ są niezależne od jakichkolwiek funkcji $g$ i $h$ tak długo aż $X$ i $Y$są niezależne. To bardzo dobrze znane wyniki, które badane są na kursach teorii prawdopodobieństwa. Jestem pewien, że znajdziesz go w dowolnym standardowym tekście, takim jak Billingsley.

Nie jako alternatywa, ale jako dodatek do poprzednich genialnych odpowiedzi, zauważ, że ten wynik jest w rzeczywistości bardzo intuicyjny.

Zwykle tak myślimy $X$ i $Y$ niezależność oznacza, że ​​znając wartość $X$ nie podaje informacji o wartości $Y$i wzajemnie. Ta interpretacja oczywiście oznacza, że ​​nie można w jakiś sposób „wycisnąć” informacji przez zastosowanie funkcji (lub w jakikolwiek inny sposób).