Jak zachować zmienne niezmienne czasowe w modelu o ustalonych efektach

Mam dane na temat pracowników dużej włoskiej firmy w ciągu dziesięciu lat i chciałbym zobaczyć, jak zmieniła się z czasem różnica między płciami w zarobkach kobiet i mężczyzn. W tym celu uruchamiam połączone OLS:

y_{ja t} = X_{ja t}^{'} β + δ {m za l mi}_{ja} + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} {re}_{t} + ε_{ja t}

$y_{it} = X'_{it}\beta + \delta {\rm male}_i + \sum^{10}_{t=1}\gamma_t d_t + \varepsilon_{it}$ gdzie

y

$y$ to dzienne zarobki rocznie,

X_{i t}

$X_{it}$ obejmuje zmienne towarzyszące, które różnią się w zależności od jednostki i czasu,

d_{t}

$d_t$ są manekinami rocznymi, a

{m a l e}_{i}

${\rm male}_i$ równa się jeden, jeśli pracownik jest mężczyzną, a w przeciwnym razie wynosi zero.

Teraz obawiam się, że niektóre zmienne towarzyszące mogą być skorelowane z niezauważonymi ustalonymi efektami. Ale kiedy używam estymatora efektów stałych (wewnątrz) lub pierwszych różnic, tracę manekin płciowy, ponieważ zmienna ta nie zmienia się w czasie. Nie chcę korzystać z estymatora efektów losowych, ponieważ często słyszę, jak ludzie mówią, że przyjmuje założenia, które są bardzo nierealistyczne i mało prawdopodobne.

Czy są jakieś sposoby na zachowanie manekina płci i kontrolowanie stałych efektów w tym samym czasie? Jeśli istnieje sposób, czy muszę grupować lub rozwiązywać inne problemy z błędami testów hipotez dotyczących zmiennej płci?

— użytkownik42263
źródło

Odpowiedzi:

Istnieje kilka potencjalnych sposobów utrzymania manekina płciowego w regresji stałych efektów.

W estymatorze
Załóżmy, że masz podobny model w porównaniu z połączonym modelem OLS, który wynosi w którym zmienne są takie, jak wcześniej. Zauważmy teraz, że i nie mogą być zidentyfikowane, ponieważ estymator wewnętrzny nie może odróżnić ich od efektu stałego . Biorąc pod uwagę, że jest punktem przecięcia dla roku bazowego , to wpływ płci na zarobki w tym okresie. Co możemy zidentyfikować w tym przypadku są

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ_{1} (m a l e_{i}) + \sum_{t = 1}^{10} γ_{t} (d_{t} \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma_1 (male_i) + \sum^{10}_{t=1} \gamma_t (d_t \cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

β_{1}

$\beta_1$

β_{1} + γ_{1} (m a l e_{i})

$\beta_1 + \gamma_1 (male_i)$

c_{i}

$c_i$

β_{1}

$\beta_1$

t = 1

$t=1$

γ_{1}

$\gamma_1$

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2, ..., \gamma_{10}$ ponieważ wchodzą w interakcje z manekinami czasu i mierzą różnice w częściowych skutkach zmiennej płci w stosunku do pierwszego okresu. To znaczy, że obserwujemy wzrost swojej

w miarę upływu czasu jest to wskazanie do zwiększenia luki zarobkowej między mężczyznami i kobietami.

γ_{2}, . . ., γ_{10}

$\gamma_2,...,\gamma_{10}$

Estymator pierwszej różnicy
Jeśli chcesz poznać ogólny efekt różnicy między mężczyznami i kobietami w czasie, możesz wypróbować następujący model: gdzie zmienna

y_{i t} = β_{1} + \sum_{t = 2}^{10} β_{t} d_{t} + γ (t \cdot m a l e_{i}) + X_{i t}^{'} θ + c_{i} + ϵ_{i t}

$y_{it} = \beta_1 + \sum^{10}_{t=2} \beta_t d_t + \gamma (t\cdot male_i) + X'_{it}\theta + c_i + \epsilon_{it}$

wchodzi w interakcję z niezmiennym w czasie manekinem płci. Teraz, jeśli weźmiesz pierwsze różnice

wypadną i otrzymasz

t = 1, 2, . . ., 10

$t = 1, 2,...,10$

β_{1}

$\beta_1$

c_{i}

$c_i$

Następnie

y_{i t} - y_{i (t - 1)} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} (d_{t} - d_{(t - 1)}) + γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) + (X_{i t}^{'} - X_{i (t - 1)}^{'}) θ + ϵ_{i t} - ϵ_{i (t - 1)}

$y_{it} - y_{i(t-1)} = \sum^{10}_{t=3} \beta_t (d_t - d_{(t-1)}) + \gamma (t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) + (X'_{it}-X'_{i(t-1)})\theta + \epsilon_{it}-\epsilon_{i(t-1)}$

i można zidentyfikować różnicę płci w zarobkach

. Zatem końcowe równanie regresji będzie następujące:

γ (t \cdot m a l e_{i} - [(t - 1) m a l e_{i}]) = γ [(t - (t - 1)) \cdot m a l e_{i}] = γ (m a l e_{i})

$\gamma(t\cdot male_i - [(t-1)male_i]) = \gamma[(t - (t-1))\cdot male_i] = \gamma (male_i)$

γ

$\gamma$

a otrzymasz efekt zainteresowania. Zaletą jest to, że łatwo to zaimplementować w dowolnym oprogramowaniu statystycznym, ale tracisz pewien okres czasu.

Δ y_{i t} = \sum_{t = 3}^{10} β_{t} Δ d_{t} + γ (m a l e_{i}) + Δ X_{i t}^{'} θ + Δ ϵ_{i t}

$\Delta y_{it} = \sum_{t=3}^{10}\beta_t \Delta d_t + \gamma(male_i) + \Delta X'_{it}\theta + \Delta \epsilon_{it}$

$c_i$ $1$ $c_i$ $2$

{\tilde{y}}_{i t} = {\tilde{X}}_{1 i t}^{'} + {\tilde{X}}_{2 i t}^{'} + γ ({\tilde{m a l e}}_{i 2}) + {\tilde{c}}_{i} + {\tilde{ϵ}}_{i t}

$\tilde{y}_{it} = \tilde{X}'_{1it} + \tilde{X}'_{2it} + \gamma (\widetilde{male}_{i2}) + \tilde{c}_i + \tilde{\epsilon}_{it}$

{\tilde{X}}_{1 i t} = X_{1 i t} - {\hat{θ}}_{i} {\bar{X}}_{1 i}

$\tilde{X}_{1it} = X_{1it} - \hat{\theta}_i \overline{X}_{1i}$ where

{\hat{θ}}_{i}

$\hat{\theta}_i$ is used for the random effects transformation and

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ is the time-average over each individual. This isn't like the usual random effects estimator that you wanted to avoid because group

2

$2$ variables are instrumented for in order to remove the correlation with

c_{i}

$c_i$ . For

{\tilde{X}}_{2 i t}

$\tilde{X}_{2it}$ the instrument is

X_{2 i t} - {\bar{X}}_{2 i}

$X_{2it} - \overline{X}_{2i}$ . The same is done for the time-invariant variables, so if you specify the gender variable to be potentially correlated with the fixed effect it gets instrumented with

{\bar{X}}_{1 i}

$\overline{X}_{1i}$ , so you must have more time-varying than time-invariant variables.

All of this might sound a little complicated but there are canned packages for this estimator. For instance, in Stata the corresponding command is xthtaylor. For further information on this method you could read Cameron and Trivedi (2009) "Microeconometrics Using Stata". Otherwise you can just stick with the two previous methods which are a bit easier.

Inference
For your hypothesis tests there is not much that needs to be considered other than what you would need to do anyway in a fixed effects regression. You need to take care for the autocorrelation in the errors, for example by clustering on the individual ID variable. This allows for an arbitrary correlation structure among clusters (individuals) which deals with autocorrelation. For a reference see again Cameron and Trivedi (2009).

— Andy
źródło

Another potential way for you to keep the gender dummy is the the Mundlak's (1978) approach for a fixed effect model with time invariant variables. The Mundlak's approach would posit that the gender effect can be projected upon the group means of the time-varying variables.

Mundlak, Y. 1978: On the pooling of time series and cross section data. Econometrica 46:69-85.

— emeryville
źródło

Another method is to estimate the time-invariant coefficients in a second stage equation, using the mean error as the dependent variable.

First, estimate the model with FE. From here you get an estimation of $\beta$ and $\gamma_{t}$ . For simplicity, let's forget about the year-effects. Define the estimation error $\hat{u}_{it}$ as before:

{\hat{u}}_{i t} \equiv y_{i t} - X_{i t} \hat{β}

$\hat{u}_{it} \equiv y_{it} - X_{it}\hat{\beta}$

The linear predictor $\bar{u}_{i}$ is:

{\bar{u}}_{i} \equiv \frac{\sum_{t = 1}^{T} {\hat{u}}_{i}}{T} = \bar{y_{i t}} - {\bar{x}}_{i} \hat{β}

$\bar{u}_{i} \equiv \frac{\sum_{t=1}^{T}\hat{u}_{i}}{T} = \bar{y_{it}} - \bar{x}_{i}\hat{\beta}$

Now, consider the following second stage equation:

{\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$\begin{equation} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i} \end{equation}$

Assuming that gender is uncorrelated with unobserved factors $c_{i}$ . Then, the OLS estimator of $\delta$ is unbiased and time-consistent (this is, it is consistent when $T \rightarrow \infty$ ).

To prove the above, replace the original model into the estimator $\bar{u}_{i}$ :

{\bar{u}}_{i} = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} \hat{β} + δ m a l e_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T}

$\bar{u}_{i} = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}\hat{\beta} + \delta male_{i} + c_{i} + \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}$

The expectation of this estimator is:

E ({\bar{u}}_{i}) = {\bar{x}}_{i} β - {\bar{x}}_{i} E (\hat{β}) + δ m a l e_{i} + E (c_{i}) + \frac{\sum_{t = 1}^{T} E (ϵ_{i t})}{T}

$E(\bar{u}_{i}) = \bar{x}_{i}\beta - \bar{x}_{i}E(\hat{\beta}) + \delta male_{i} + E(c_{i}) + \frac{\sum_{t=1}^{T}E(\epsilon_{it})}{T}$

If assumptions for FE consistency hold, $\hat{\beta}$ is an unbiased estimator of $\beta$ , and $E(\epsilon_{it}) = 0$ . Thus:

E ({\bar{u}}_{i}) = δ m a l e_{i} + E (c_{i})

$E(\bar{u}_{i}) = \delta male_{i} + E(c_{i})$

This is, our predictor is an unbiased estimator of the time-invariant components of the model.

Regarding consistency, the probability limit of this predictor is:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} β) - p lim_{T \to \infty} ({\bar{x}}_{i} \hat{β}) + p lim_{T \to \infty} δ m a l e_{i} + p lim_{T \to \infty} c_{i} + p lim_{T \to \infty} (\frac{\sum_{t = 1}^{T} ϵ_{i t}}{T})

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \bar{x}_{i}\beta\right) - p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left(\bar{x}_{i}\hat{\beta}\right) + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \delta male_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} c_{i} + p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \left( \frac{\sum_{t=1}^{T}\epsilon_{it}}{T}\right)$

Again, given FE assumptions, $\hat{\beta}$ is a consistent estimator of $\beta$ , and the error term converges to its mean, which is zero. Therefore:

p lim_{T \to \infty} {\bar{u}}_{i} = δ m a l e_{i} + c_{i}

$p \lim\limits_{T \rightarrow \infty} \bar{u}_{i} = \delta male_{i} + c_{i}$

Again, our predictor is a consistent estimator of the time-invariant components of the model.

— luchonacho
źródło

Urządzenie szambelana Mundlak jest do tego idealnym narzędziem. Jest zwykle określany jako skorelowany model efektów losowych, ponieważ wykorzystuje model efektów losowych do niejawnego oszacowania stałych efektów dla zmiennych wariantów czasowych, a także do oszacowania efektów losowych dla zmiennych niezmienniczych w czasie.

Jednak w oprogramowaniu statystycznym zaimplementujesz to samo jako model efektu losowego, ale musisz dodać średnie dla zmiennych towarzyszących wszystkich wariantów czasowych.

— Martin Paul
źródło