W danych skośnych po lewej stronie jaki jest związek między średnią a medianą?

Myślę, że mediana $\leq$ oznacza.

Czy tak jest w przypadku?

To nietrywialne pytanie (z pewnością nie tak trywialne, jak się wydaje, że ludzie zadający to pytanie).

Trudność jest ostatecznie spowodowana faktem, że tak naprawdę nie wiemy, co rozumiemy przez „skośność” - przez większość czasu jest to dość oczywiste, ale czasami tak naprawdę nie jest. Biorąc pod uwagę trudność w określeniu, co rozumiemy przez „lokalizację” i „rozprzestrzenianie się” w nietrywialnych przypadkach (na przykład średnia nie zawsze ma na myśli to, co mówimy o lokalizacji), nie powinno dziwić, że bardziej subtelne koncepcja jak skośność jest co najmniej tak samo śliska. To prowadzi nas do wypróbowania różnych algebraicznych definicji tego, co mamy na myśli, i nie zawsze się ze sobą zgadzają.

$\mu$$\stackrel{\sim}{\mu}$

Przykładowe wersje tych statystyk działają podobnie.

Przyczyną koniecznego związku między średnią a medianą w tym przypadku jest to, że tak definiuje się miarę skośności.

Oto gęstość przekrzywiona w lewo (zarówno przez drugą miarę Pearsona, jak i bardziej powszechną miarę w (2) poniżej):

Mediana jest zaznaczona na dolnym marginesie na zielono, średnia na czerwono.

Oczekuję więc, że odpowiedzią, którą chcą dać, jest to, że średnia jest mniejsza niż mediana. Zwykle dzieje się tak w przypadku rodzajów dystrybucji, którym zwykle nadamy nazwy.

(Ale czytaj dalej i zobacz, dlaczego tak naprawdę nie jest to poprawne stwierdzenie ogólne).

2) Jeśli zmierzysz go według bardziej znormalizowanego trzeciego momentu , wówczas często, ale w żadnym wypadku nie zawsze, jest tak, że średnia będzie mniejsza niż mediana.

Oznacza to, że możliwe jest skonstruowanie przykładów, w których prawda jest odwrotna lub gdzie jedna miara skośności wynosi zero, a druga jest niezerowa.

To znaczy, nie ma koniecznego związku między lokalizacjami średniej, mediany i skośności momentu.

Rozważmy na przykład następującą próbkę (ten sam przykład można skonstruować jako dyskretny rozkład prawdopodobieństwa):

  2.7 15.0 15.0 15.0 30.0 30.0

mean: 17.95
median: 15

Jednak współczynnik skośności (Fishera, moment trzeci) jest ujemny (tzn. Ze względu na jego światła mamy dane skośne w lewo), ponieważ suma kostek odchyleń od średniej jest ujemna.

Więc w takim przypadku odchylenie w lewo, ale oznacza> medianę.

(Z drugiej strony, jeśli zmienisz 2.7 w powyższym przykładzie na 3, to masz przykład, w którym skośność momentu wynosi zero, ale średnia przekracza medianę. Jeśli osiągniesz 3.3, skośność momentu jest dodatnia , a średnia przekracza medianę - tj. ostatecznie jest w kierunku „oczekiwanym”).

Jeśli użyjesz pierwszego skosu Pearsona zamiast jednej z powyższych definicji, masz podobny problem do tego przypadku - kierunek skosu nie określa relacji między średnią a medianą w ogóle.

Edycja: w odpowiedzi na pytanie w komentarzach - przykład, w którym średnia i mediana są równe, ale skośność momentu jest ujemna. Rozważ następujące dane (jak poprzednio, liczy się to również jako przykład dla dyskretnej populacji; rozważ zapisanie liczb na powierzchniach kości).

 1  5  6  6  8 10

zarówno średnia, jak i mediana wynoszą 6, ale suma kostek odchyleń od średniej jest ujemna, więc skośność w trzecim momencie jest ujemna.

Nie. Dane przekrzywione w lewo mają długi ogon po lewej stronie (dolny koniec), więc średnia będzie zwykle mniejsza niż mediana. (Ale zobacz odpowiedź @Glen_b na wyjątek). Od niechcenia myślę, że dane, które „wyglądają” na przekrzywione, będą miały mniej niż medianę.

Prawidłowo wypaczone dane są bardziej powszechne; na przykład dochód. Tam średnia jest większa niż mediana.

Kod R.

set.seed(123)  #set random seed
normdata <- rnorm(1000) #Normal data, skew = 0
extleft <- c(rep(-10, 5), rep(-20, 5)) #Some data to make skew left
alldata <- c(normdata,extleft)

library(moments)
skewness(alldata) #-6.77
mean(alldata) #-0.13
median(alldata) #-0.001