Rozkład stosunku zależnych zmiennych losowych chi-kwadrat

Załóżmy, że gdzie są niezależne. $X = X_1 + X_2+\cdots+ X_n$ $X_i \sim N(0,\sigma^2)$

Moje pytanie brzmi: co robi dystrybucja

Z = \frac{X^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$Z = \frac{X^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

podążać? Wiem stąd, że stosunek dwóch losowych zmiennych chi-kwadrat wyrażonych jako zgodny z rozkładem Beta. Myślę, że ta zakłada niezależność pomiędzy i . W moim przypadku mianownik zawiera składniki podniesione do kwadratu. $\frac{W}{W + Y}$ $W$ $Y$ $Z$ $X$

Myślę, że musi również podążać za odmianą dystrybucji Beta, ale nie jestem pewien. A jeśli to założenie jest prawidłowe, nie wiem, jak to udowodnić. $Z$

— x0dros
źródło

Ponieważ rozkład mianownika jest niezmienny w przypadku rotacji, możesz obrócić do wartości równej , co sprowadza twoje pytanie do czegoś znajomego :-).

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt{n}X_1$

— whuber

Jestem pewien, że @whuber oznacza dokładnie to, co tam napisano. Kiedy mówisz „nominator”, masz na myśli „licznik”?

— Glen_b

Kiedy obracasz cokolwiek, z definicji zachowujesz jego długość. Dlatego wariancja dowolnej obróconej wersji musi być równa wariancji , która wynosi : stąd pochodzi termin .

X

$X$

X

$X$

1 + 1 + \dots + 1 = n

$1+1+\cdots+1=n$

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— whuber

@whuber Twoja odpowiedź wydaje się bardzo interesująca, ale mam wątpliwości. Kiedy mówisz, że mogę obrócić aby uzyskać wartość równą , oznacza to w zasadzie, że mogę przepisać licznik na a w konsekwencji samo zmienia się w . Teraz, jeśli że i a ponieważ i są niezależne, mogę założyć, że ma

X

$X$

\sqrt{n} X_{1}

$\sqrt nX_1$

Z

$Z$

n X_{1}^{2}

$nX_1^2$

Z

$Z$

n \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$n\frac{X_1^2}{X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2}$

W = X_{1}^{2}

$W=X_1^2$

Y = X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}

$Y=X_2^2+\cdots+X_n^2$

W

$W$

Y

$Y$

Z = n \frac{W}{W + Y}

$Z=n\frac{W}{W+Y}$

β

$\beta$ dystrybucja i tak dalej. Czy rozumiem do tej pory? Oto moje zamieszanie. Przed użyciem pojęcia o niezmienności obrotowej i modifyi

— ssah

@ssah Błędnie stosujesz moje rozumowanie: bez w mianowniku jego rozkład nie jest już niezmienny w stosunku do dowolnych rotacji więc wnioski nie są już dłużej aktualne.

X_{1}^{2}

$X_1^2$

(X_{1}, \dots, X_{n}),

$(X_1,\ldots, X_n),$

— whuber

W tym poście wyjaśniono odpowiedzi w komentarzach do pytania.

Niech . Napraw dowolną długości jednostki. Taki wektor zawsze może być skompletowany do podstawy ortonormalnej (na przykład za pomocą procesu Gram-Schmidta ). Ta zmiana podstawy (ze zwykłej) jest ortogonalna: nie zmienia długości. Zatem rozkład $X = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\mathbf{e}_1\in\mathbb{R}^n$ $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n)$

\frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{| | X | |^{2}} = \frac{(e_{1} \cdot X)^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}}

$\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{||X||^2}=\frac{(\mathbf{e}_1\cdot X)^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}$

nie zależy od . Biorąc pokazuje, że ma on taki sam rozkład jak $\mathbf{e}_1$ $\mathbf{e}_1 = (1,0,0,\ldots, 0)$

\begin{matrix} (1) & \frac{X_{1}^{2}}{X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \dots + X_{n}^{2}} . \end{matrix}

$\frac{X_1^2}{X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2}.\tag{1}$

Ponieważ mają tę samą wartość Normalną, można je zapisać jako razy iid standardowe zmienne normalne a ich kwadraty są razy . Ponieważ suma niezależnych rozkładów wynosi , ustaliliśmy, że rozkład jest równy $X_i$ $\sigma$ $Y_1, \ldots, Y_n$ $\sigma^2$ $\Gamma(1/2)$ $n-1$ $\Gamma(1/2)$ $\Gamma((n-1)/2)$ $(1)$

\frac{σ^{2} U}{σ^{2} U + σ^{2} V} = \frac{U}{U + V}

$\frac{\sigma^2 U}{\sigma^2 U + \sigma^2 V} = \frac{U}{U+V}$

gdzie i są niezależne. Jest dobrze wiadomo , że ten stosunek ma beta rozkład. (Patrz również ściśle powiązane nić na Dystrybucja jeśli beta , a chi-kwadrat z stopni ). $U = X_1^2/\sigma^2 \sim \Gamma(1/2)$ $V = (X_2^2 + \cdots + X_n^2)/\sigma^2 \sim \Gamma((n-1)/2)$ $(1/2, (n-1)/2)$ $XY$ $X \sim$ $(1,K-1)$ $Y \sim$ $2K$

Ponieważ

X_{1} + \dots + X_{n} = (1, 1, \dots, 1) \cdot (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}) = \sqrt{n} e_{1} \cdot X

$X_1 + \cdots + X_n = (1,1,\ldots,1)\cdot (X_1, X_2, \cdots, X_n) = \sqrt{n}\,\mathbf{e}_1\cdot X$

dla wektora jednostkowego , wnioskujemy, że to razy Beta zmieniają się. Dla ma zatem funkcję gęstości $\mathbf{e}_1=(1,1,\ldots,1)/\sqrt{n}$ $Z$ $(\sqrt{n})^2 = n$ $(1/2, (n-1)/2)$ $n\ge 2$

f_{Z} (z) = \frac{n^{1 - n / 2}}{B (\frac{1}{2}, \frac{n - 1}{2})} \sqrt{\frac{(n - z)^{n - 3}}{z}}

$f_Z(z) = \frac{n^{1-n/2}}{B\left(\frac{1}{2}, \frac{n-1}{2}\right)} \sqrt{\frac{(n-z)^{n-3}}{z}}$

w przedziale (a poza tym wynosi zero). $(0,n)$

W celu sprawdzenia, że symulowane niezależnych realizacje o i , wykreślono ich histogramy oraz nakłada się wykres odpowiedniej gęstości beta (na czerwono). Umowy są doskonałe. $100,000$ $Z$ $\sigma=1$ $n=2,3,10$

Oto Rkod. Przeprowadza symulację za pomocą wzoru sum(x)^2 / sum(x^2)na , gdzie jest generowanym wektorem długości . Reszta to po prostu zapętlanie ( , ) i kreślenie ( , ). $Z$ xnrnormforapplyhistcurve

for (n in c(2, 3, 10)) {
  z <- apply(matrix(rnorm(n*1e5), nrow=n), 2, function(x) sum(x)^2 / sum(x^2))
  hist(z, freq=FALSE, breaks=seq(0, n, length.out=50), main=paste("n =", n), xlab="Z")
  curve(dbeta(x/n, 1/2, (n-1)/2)/n, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— Whuber
źródło