Analiza głównego składnika „wstecz”: ile wariancji danych wyjaśnia dana liniowa kombinacja zmiennych?

I przeprowadzeniu analizy głównych składowych sześć zmiennych , , , , E i F . Jeśli dobrze rozumiem, niezabezpieczone PC1 mówi mi, jaka liniowa kombinacja tych zmiennych opisuje / wyjaśnia największą wariancję danych, a PC2 mówi mi, jaka liniowa kombinacja tych zmiennych opisuje następną największą wariancję danych i tak dalej.$A$$B$$C$$D$$E$$F$

Jestem tylko ciekawy - czy jest jakiś sposób, aby zrobić to „wstecz”? Powiedzmy, że wybrałem jakąś liniową kombinację tych zmiennych - np. $A+2B+5C$ , czy mogę obliczyć, ile wariancji w danych to opisuje?

Jeśli zaczniemy od założenia, że ​​wszystkie zmienne zostały wyśrodkowane (standardowa praktyka w PCA), to całkowita wariancja danych jest tylko sumą kwadratów:

$$T=\sum_{i}(A_{i}^{2}+B_{i}^{2}+C_{i}^{2}+D_{i}^{2}+E_{i}^{2}+F_{i}^{2})$$

Jest to równe śladowi macierzy kowariancji zmiennych, która jest równa sumie wartości własnych macierzy kowariancji. Jest to ta sama ilość, o której mówi PCA w kategoriach „wyjaśniania danych” - tzn. Chcesz, aby twoje komputery PC wyjaśniały największą część diagonalnych elementów macierzy kowariancji. Teraz, jeśli uczynimy to funkcją obiektywną dla zestawu przewidywanych wartości, takich jak:

$$S=\sum_{i}\left(\left[A_{i}-\hat{A}_{i}\right]^{2}+\dots+\left[F_{i}-\hat{F}_{i}\right]^{2}\right)$$

Wtedy pierwsze główne składowe minimalizuje $S$ spośród wszystkich Pozycja 1 wartości dopasowanych $(\hat{A}_{i},\dots,\hat{F}_{i})$ . Wydaje się więc, że odpowiednią ilością, której szukasz, jest

$$P=1-\frac{S}{T}$$ Aby użyć twojego przykładu$A+2B+5C$, musimy przekształcić to równanie w przewidywania rangi 1. Najpierw musisz znormalizować wagi, aby uzyskać sumę kwadratów 1. Zastępujemy$(1,2,5,0,0,0)$(suma kwadratów$30$) wartością$\left(\frac{1}{\sqrt{30}},\frac{2}{\sqrt{30}},\frac{5}{\sqrt{30}},0,0,0\right)$. Następnie „oceniamy” każdą obserwację według znormalizowanych wag:

$$Z_{i}=\frac{1}{\sqrt{30}}A_{i}+\frac{2}{\sqrt{30}}B_{i}+\frac{5}{\sqrt{30}}C_{i}$$

Następnie mnożymy wyniki przez wektor wagi, aby uzyskać naszą prognozę rangi 1.

$$\begin{pmatrix} \hat{A}_{i} \\ \hat{B}_{i} \\ \hat{C}_{i} \\ \hat{D}_{i} \\ \hat{E}_{i} \\ \hat{F}_{i}\end{pmatrix} =Z_{i}\times\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{30}} \\ \frac{2}{\sqrt{30}} \\ \frac{5}{\sqrt{30}} \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$

Następnie podłącz tych oszacowań S oblicz P . Możesz również umieścić to w notacji norm macierzowych, co może sugerować inne uogólnienie. Jeśli ustawimy O jako macierz N × q obserwowanych wartości zmiennych ( q = 6 w twoim przypadku), a E jako odpowiednią macierz prognoz. Możemy zdefiniować odsetek wariancji wyjaśniony jako:$S$$P$$O$$N\times q$$q=6$$E$

$$\frac{||O||_{2}^{2}-||O-E||_{2}^{2}}{||O||_{2}^{2}}$$

Gdzie | | . | | 2 jest normą macierzy Frobeniusa . Możesz więc „uogólnić” to na inny rodzaj normy macierzowej, a otrzymasz różnicę miary „wyjaśnionej zmienności”, chociaż sama nie będzie to „wariancją”, chyba że jest to suma kwadratów.$||.||_{2}$

Let's say I choose some linear combination of these variables -- e.g. $A+2B+5C$, could I work out how much variance in the data this describes?

This question can be understood in two different ways, leading to two different answers.

A linear combination corresponds to a vector, which in your example is $[1, 2, 5, 0, 0, 0]$. This vector, in turn, defines an axis in the 6D space of the original variables. What you are asking is, how much variance does projection on this axis "describe"? The answer is given via the notion of "reconstruction" of original data from this projection, and measuring the reconstruction error (see Wikipedia on Fraction of variance unexplained). Turns out, this reconstruction can be reasonably done in two different ways, yielding two different answers.

---

Approach #1

Let $\newcommand{\S}{\boldsymbol \Sigma} \newcommand{\w}{\mathbf w} \newcommand{\v}{\mathbf v}\newcommand{\X}{\mathbf X} \X$ be the centered dataset ($n$ rows correspond to samples, $d$ columns correspond to variables), let $\S$ be its covariance matrix, and let $\w$ be a unit vector from $\mathbb R^d$. The total variance of the dataset is the sum of all $d$ variances, i.e. the trace of the covariance matrix: $T = \mathrm{tr}(\S)$. The question is: what proportion of $T$ does $\w$ describe? The two answers given by @todddeluca and @probabilityislogic are both equivalent to the following: compute projection $\X \w$, compute its variance and divide by $T$:

$$R^2_\mathrm{first} = \frac{\mathrm{Var}(\X \w)}{T} = \frac{\w^\top \S \w}{\mathrm{tr}(\S)}.$$

This might not be immediately obvious, because e.g. @probabilityislogic suggests to consider the reconstruction $\X \w \w^\top$ and then to compute

$$\frac{\|\X\|^2 - \|\X-\X \w \w^\top\|^2}{\|\X\|^2},$$ but with a little algebra this can be shown to be an equivalent expression.

---

Approach #2

Okay. Now consider a following example: $\X$ is a $d=2$ dataset with covariance matrix

$$\S = \left(\begin{array}{c}1&0.99\\0.99&1\end{array}\right)$$ and $\mathbf w = (\begin{array}{}1&0\end{array})^\top$ is simply an $x$ vector:

The total variance is $T=2$. The variance of the projection onto $\w$ (shown in red dots) is equal to $1$. So according to the above logic, the explained variance is equal to $1/2$. And in some sense it is: red dots ("reconstruction") are far away from the corresponding blue dots, so a lot of the variance is "lost".

On the other hand, the two variables have $0.99$ correlation and so are almost identical; saying that one of them describes only $50\%$ of the total variance is weird, because each of them contains "almost all the information" about the second one. We can formalize it as follows: given projection $\X\w$, find a best possible reconstruction $\X\w\v^\top$ with $\v$ not necessarily the same as $\w$, and then compute the reconstruction error and plug it into the expression for the proportion of explained variance:

$$R^2_\mathrm{second}=\frac{\|\X\|^2 - \|\X-\X \w \v^\top\|^2}{\|\X\|^2},$$ where $\v$ is chosen such that $\|\X-\X \w \v^\top\|^2$ is minimal (i.e. $R^2$ is maximal). This is exactly equivalent to computing $R^2$ of multivariate regression predicting original dataset $\X$ from the $1$-dimensional projection $\X\w$.

It is a matter of straightforward algebra to use regression solution for $\v$ to find that the whole expression simplifies to

$$R^2_\mathrm{second}=\frac{\|\S \w\|^2}{\w^\top \S \w \cdot \mathrm{tr}(\S)}.$$ In the example above this is equal to $0.9901$, which seems reasonable.

Note that if (and only if) $\w$ is one of the eigenvectors of $\S$, i.e. one of the principal axes, with eigenvalue $\lambda$ (so that $\S \w = \lambda \w$), then both approaches to compute $R^2$ coincide and reduce to the familiar PCA expression

$$R^2_\mathrm{PCA} = R^2_\mathrm{first} = R^2_\mathrm{second} = \lambda/\mathrm{tr}(\S) = \lambda/\sum \lambda_i.$$

PS. See my answer here for an application of the derived formula to the special case of $\w$ being one of the basis vectors: Variance of the data explained by a single variable.

---

Appendix. Derivation of the formula for $R^2_\mathrm{second}$

Finding $\v$ minimizing the reconstruction $\|\X-\X \w \v^\top\|^2$ is a regression problem (with $\X \w$ as univariate predictor and $\X$ as multivariate response). Its solution is given by

$$\v^\top = \left((\X \w)^\top (\X \w)\right)^{-1}(\X \w)^\top \X = (\w^\top \S \w)^{-1} \w^\top \S.$$

Next, the $R^2$ formula can be simplified as

$$R^2=\frac{\|\X\|^2 - \|\X-\X \w \v^\top\|^2}{\|\X\|^2} = \frac{\|\X \w \v^\top\|^2}{\|\X\|^2}$$ due to the Pythagoras theorem, because the hat matrix in regression is an orthogonal projection (but it is also easy to show directly).

Plugging now the equation for $\v$, we obtain for the numerator:

$$\|\X \w \v^\top\|^2 = \mathrm{tr}\left(\X \w \v^\top (\X \w \v^\top)^\top\right) = \mathrm{tr}(\X\w\w^\top\S\S\w\w^\top\X^\top)/(\w^\top\S\w)^2=\mathrm{tr}(\w^\top\S\S\w)/(\w^\top\S\w) = \|\S\w\|^2 / (\w^\top\S\w).$$

The denominator is equal to $\|\X\|^2 = \mathrm{tr}(\S)$ resulting in the formula given above.

Let the total variance, $T$, in a data set of vectors be the sum of squared errors (SSE) between the vectors in the data set and the mean vector of the data set,

$$T = \sum_{i} (x_i-\bar{x}) \cdot (x_i-\bar{x})$$ where $\bar{x}$ is the mean vector of the data set, $x_i$ is the ith vector in the data set, and $\cdot$ is the dot product of two vectors. Said another way, the total variance is the SSE between each $x_i$ and its predicted value, $f(x_i)$, when we set $f(x_i)=\bar{x}$.

Now let the predictor of $x_i$, $f(x_i)$, be the projection of vector $x_i$ onto a unit vector $c$.

$$f_c(x_i) = (c \cdot x_i)c$$

Then the $SSE$ for a given $c$ is

$$SSE_c = \sum_i (x_i - f_c(x_i)) \cdot (x_i - f_c(x_i))$$

I think that if you choose $c$ to minimize $SSE_c$, then $c$ is the first principal component.

If instead you choose $c$ to be the normalized version of the vector $(1, 2, 5, ...)$, then $T-SSE_c$ is the variance in the data described by using $c$ as a predictor.