Rozkład próbkowania promienia rozkładu normalnego 2D

Dwuwymiarowy rozkład normalny ze średnią i macierzą kowariancji można ponownie zapisać we współrzędnych biegunowych o promieniu kącie . Moje pytanie brzmi: jaki jest rozkład próbkowania , to znaczy odległość od punktu do szacowanego środka danej macierzy kowariancji próbki ? $\mu$ $\Sigma$ $r$ $\theta$ $\hat{r}$ $x$ $\bar{x}$ $S$

Tło: Rzeczywista odległość od punktu oznacza, że zgodne z rozkładem Hoyta . W przypadku wartości własnych z i parametr parametru kształtu to , a jego parametrem skali jest . Wiadomo, że funkcja skumulowanego rozkładu jest różnicą symetryczną między dwiema funkcjami Q Marcum. $r$ $x$ $\mu$ $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ $\Sigma$ $\lambda_{1} > \lambda_{2}$ $q=\frac{1}{\sqrt{(\lambda_{1}+\lambda_{2})/\lambda_{2})-1}}$ $\omega = \lambda_{1} + \lambda_{2}$

Symulacja sugeruje, że podłączenie szacunków i dla i do prawdziwego cdf działa dla dużych próbek, ale nie dla małych próbek. Poniższy schemat pokazuje wyniki z 200 razy $\bar{x}$ $S$ $\mu$ $\Sigma$

symulacja 20 wektorów normalnych 2D dla każdej kombinacji podanych ( oś), (wiersze) i kwantyl (kolumny) $q$ $x$ $\omega$
dla każdej próbki, obliczając podany kwantyl obserwowanego promienia do $\hat{r}$ $\bar{x}$
Dla każdej próbki, obliczanie kwantylu od teoretycznej Hoyt (2D normalny) CDF, od teoretycznego Rayleigha CDF po podłączeniu Przykładowe wartości szacunkowych a . $\bar{x}$ $S$

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Gdy zbliża się do 1 (rozkład staje się kołowy), oszacowane kwantyle Hoyta zbliżają się do oszacowanych kwantyli Rayleigha, na które nie ma wpływu . Wraz ze wzrostem rośnie różnica między kwantylami empirycznymi a kwantylami szacowanymi, szczególnie w ogonie rozkładu. $q$ $q$ $\omega$

— karakal
źródło

Jakie jest pytanie?

— Jan

@John Podkreśliłem pytanie: „Jaki jest rozkład próbkowania [promień] , to znaczy odległość od punktu do szacowanego środka biorąc pod uwagę macierz konwariancji próbki ?”

r

$r$

x

$x$

\bar{x}

$\bar{x}$

S

$S$

— caracal

Dlaczego w przeciwieństwie do ?

\hat{r}

$\hat{r}$

\hat{r^{2}}

$\hat{r^2}$

— SomeEE

@MathEE po prostu dlatego, że znana mi literatura dotyczy dystrybucji (true) , a nie (true) . Zauważ, że nie jest to sytuacja, w której odległość Mahalanobis omówiona w tym pytaniu . Oczywiście bardzo mile widziane byłyby wyniki dystrybucji .

\hat{r}

$\hat{r}$

r

$r$

r^{2}

$r^{2}$

{\hat{r}}^{2}

$\hat{r}^{2}$

— caracal

Jak wspomniałeś w swoim poście, znamy rozkład oszacowania jeśli otrzymamy więc znamy rozkład oszacowania prawdziwego . $\widehat{r_{true}}$ $\mu$ $\widehat{r^2_{true}}$ $r^2$

Chcemy znaleźć rozkład gdzie są wyrażone jako wektory kolumnowe.

\hat{r^{2}} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})

$\widehat{r^2} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\overline{x})^T(x_i-\overline{x})$

x_{i}

$x_i$

Teraz wykonujemy standardową lewę

\begin{array}{rcl} \hat{r_{t r u e}^{2}} & = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - μ)^{T} (x_{i} - μ) \\ = & \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ)^{T} (x_{i} - \bar{x} + \bar{x} - μ) \\ = & [\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (x_{i} - \bar{x})] + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) (1) \\ = & \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \widehat{r^2_{true}} &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \mu)^T(x_i-\mu)\\ &=& \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x} + \overline{x} -\mu)^T(x_i-\overline{x} + \overline{x}-\mu)\\ &=&\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T(x_i-\overline{x})\right] + (\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu) \hspace{20pt}(1)\\ &=& \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu) \end{eqnarray*}$ gdzie wynika z równania i jego transpozycja.

(1)

$(1)$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = (\bar{x} - \bar{x})^{T} (\bar{x} - μ) = 0

$\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\overline{x})^T(\overline{x}-\mu) = (\overline{x} - \overline{x})^T(\overline{x} - \mu) = 0$

Zauważ, że jest śladem przykładowej macierzy kowariancji i zależy tylko od średniej próbki . Tak więc zapisaliśmy jako suma dwóch niezależne zmienne losowe. Znamy rozkłady i i dlatego wykonujemy standardową sztuczkę przy użyciu tego funkcje charakterystyczne są multiplikatywne. $\widehat{r^2}$ $S$ $(\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$ $\overline{x}$

\hat{r_{t r u e}^{2}} = \hat{r^{2}} + (\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$\widehat{r_{true}^2} = \widehat{r^2} + (\overline{x}-\mu)^T(\overline{x}-\mu)$

\hat{r_{t r u e}^{2}}

$\widehat{r^2_{true}}$

(\bar{x} - μ)^{T} (\bar{x} - μ)

$(\overline{x} - \mu)^T(\overline{x}-\mu)$

Edytowano, aby dodać:

$||x_i-\mu||$ jest Hoyt, więc ma pdf gdzie to zmodyfikowana funkcja Bessela pierwszego rodzaju .

f (ρ) = \frac{1 + q^{2}}{q ω} ρ e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ^{2}} I_{O} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ^{2})

$f(\rho) = \frac{1+q^2}{q\omega}\rho e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega} \rho^2}I_O\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega} \rho^2\right)$

I_{0}

$I_0$

0^{t h}

$0^{th}$

Oznacza to, że pdf to $||x_i-\mu||^2$

f (ρ) = \frac{1}{2} \frac{1 + q^{2}}{q ω} e^{- \frac{(1 + q^{2})^{2}}{4 q^{2} ω} ρ} I_{0} (\frac{1 - q^{4}}{4 q^{2} ω} ρ) .

$f(\rho) = \frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}e^{-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}\rho}I_0\left(\frac{1-q^4}{4q^2\omega}\rho\right).$

Aby ułatwić oznaczenie ustawione , i . $a = \frac{1-q^4}{4q^2\omega}$ $b=-\frac{(1+q^2)^2}{4q^2\omega}$ $c=\frac{1}{2}\frac{1+q^2}{q\omega}$

Funkcja generująca moment to $||x_i-\mu||^2$

{\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s - b)^{2} - a^{2}}} & (s - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c}{\sqrt{(s-b)^2-a^2}} & (s-b) > a\\ 0 & \text{ else}\\ \end{cases}$

Tak więc funkcją generującą moment jest a funkcja generowania momentu is $\widehat{r^2_{true}}$

{\begin{cases} \frac{c^{N}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{N / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^N}{((s/N-b)^2-a^2)^{N/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{else} \end{cases}$

| | \bar{x} - μ | |^{2}

$||\overline{x} - \mu||^2$

{\begin{cases} \frac{N c}{\sqrt{(s - N b)^{2} - (N a)^{2}}} = \frac{c}{\sqrt{(s / N - b)^{2} - a^{2}}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else \end{cases}

$\begin{cases} \frac{Nc}{\sqrt{(s-Nb)^2-(Na)^2}} = \frac{c}{\sqrt{(s/N-b)^2-a^2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else} \end{cases}$

Oznacza to, że funkcją generującą moment w jest $\widehat{r^2}$

{\begin{cases} \frac{c^{N - 1}}{((s / N - b)^{2} - a^{2})^{(N - 1) / 2}} & (s / N - b) > a \\ 0 & else . \end{cases}

$\begin{cases} \frac{c^{N-1}}{((s/N-b)^2-a^2)^{(N-1)/2}} & (s/N-b) > a\\ 0 & \text{ else}. \end{cases}$

Zastosowanie odwrotnej transformaty Laplace'a daje, że ma pdf $\widehat{r^2}$

g (ρ) = \frac{\sqrt{π} N c^{N - 1}}{Γ (\frac{N - 1}{2})} {(\frac{2 i a}{N ρ})}^{(2 - N) / 2} e^{b N ρ} J_{N / 2 - 1} (i a N ρ) .

$g(\rho) = \frac{\sqrt{\pi}Nc^{N-1}}{\Gamma(\frac{N-1}{2})}\left(\frac{2\mathrm{i} a}{N\rho}\right)^{(2 - N)/2} e^{b N \rho} J_{N/2-1}( \mathrm{i} a N \rho).$

— SomeEE
źródło

Dziękuję Ci! Będę musiał ustalić szczegóły przed zaakceptowaniem.

— caracal

\hat{r_{true}^{2}} \sim Hoyt

$\widehat{r^{2}_{\text{true}}} \sim \text{Hoyt}$ i ? Zatem funkcja charakterystyczna jest iloczynem dwóch charakterystycznych funkcji, jak wyjaśniono tutaj . To rzeczywiście odpowiada na moje pytanie. Czy wiesz, jak możemy odpowiednio przekształcić tak aby jego dystrybucja była znana bez dostępu do ? Jak odległości Mahalanobisa, albo jednoczynnikowej statystyki?

| | \bar{x} - μ | |^{2} \sim N (0, \frac{1}{N} Σ)

$||\bar{x}-\mu||^{2} \sim \mathcal{N}(0, \frac{1}{N}\Sigma)$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^{2}}$

Σ

$\Sigma$

t

$t$

— caracal

Zredagowałem swoją odpowiedź na pełną odpowiedź. Daj mi znać, jeśli się zgadzasz.

— SomeEE

Nie jestem pewien nieznanego . Oczywistą rzeczą do zrobienia jest próba „podzielenia” przez przykładową kowariancję która wyglądałaby jak suma odległości Mahalanobisa, tzn. Należy rozważyć . Niestety suma ta wynosi zawsze .

Σ

$\Sigma$

\hat{r^{2}}

$\widehat{r^2}$

S

$S$

\frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} (x_{i} - \bar{x})^{T} S^{- 1} (x_{i} - \bar{x})

$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(x_i - \overline{x})^T S^{-1}(x_i-\overline{x})$

1

$1$

— SomeEE

Dziękujemy za kontynuowanie pracy nad odpowiedzią! Nie jestem pewien co do rozkładu . Nie m żeby do czynienia z tym analitycznie, a szybkie symulacja daje różny rozkład niż : R Kod symulacji . Chociaż może być tak, że nie rozumiem poprawnie parametryzacji .

| | x_{i} - μ | |^{2}

$||x_{i}-\mu||^{2}$

r^{2}

$r^{2}$

Γ (q, \frac{ω}{q})

$\Gamma(q, \frac{\omega}{q})$

Γ

$\Gamma$

— caracal