Mediana próbki jest statystyką rzędu i ma rozkład nienormalny, więc łączny rozkład próby skończonej próbki mediany próbki i średniej próbki (która ma rozkład normalny) nie byłby dwuwymiarowy normalny. Odwołując się do przybliżeń, asymptotycznie następujące twierdzenia (patrz moja odpowiedź tutaj ):
√n [ ( ˉ X n Y n ) - ( μ v ) ] → LN [ ( 0 0 ) , Σ ]
n−−√[(X¯nYn)−(μv)]→LN[(00),Σ]
z
Σ = ( σ 2 E ( | X - v | ) [ 2 f ( v ) ] - 1 E ( | X - v | ) [ 2 f ( v ) ] - 1 [ 2 f ( v ) ] - 2 )
Σ=(σ2E(|X−v|)[2f(v)]−1E(|X−v|)[2f(v)]−1[2f(v)]−2)
gdzie ˉ X n jest średnią próbki, a μ średnią populacji, Y n jest medianą próby v v mediana populacji, f ( ) jest gęstością prawdopodobieństwa zaangażowanych zmiennych losowych, a σ 2 jest wariancją. X¯nμYnvf()σ2
Tak więc w przybliżeniu dla dużych próbek ich wspólny rozkład jest dwuwymiarowy normalny, więc mamy to
E ( Y n ∣ ˉ X n = ˉ x ) = v + ρ σ vσ ˉ X ( ˉ x -μ)
E(Yn∣X¯n=x¯)=v+ρσvσX¯(x¯−μ)
gdzie ρ jest współczynnikiem korelacji.ρ
Manipulując rozkładem asymptotycznym, aby stać się przybliżonym rozkładem łącznej dużej próbki dla średniej próbki i mediany próbki (a nie standardowych wielkości), mamy
ρ = 1n E(|X-v|)[2f(v)]-11n σ[2f(v)]-1=E(|X-v|)σ
ρ=1nE(|X−v|)[2f(v)]−11nσ[2f(v)]−1=E(|X−v|)σ
So
E(Yn∣ˉXn=ˉx)=v+E(|X−v|)σ[2f(v)]−1σ(ˉx−μ)
E(Yn∣X¯n=x¯)=v+E(|X−v|)σ[2f(v)]−1σ(x¯−μ)
We have that 2f(v)=2/σ√2π2f(v)=2/σ2π−−√ due to the symmetry of the normal density so we arrive at
E(Yn∣ˉXn=ˉx)=v+√π2E(|X−μσ|)(ˉx−μ)
E(Yn∣X¯n=x¯)=v+π2−−√E(∣∣∣X−μσ∣∣∣)(x¯−μ)
where we have used v=μv=μ. Now the standardized variable is a standard normal, so its absolute value is a half-normal distribution with expected value equal to √2/π2/π−−−√ (since the underlying variance is unity). So
E(Yn∣ˉXn=ˉx)=v+√π2√2π(ˉx−μ)=v+ˉx−μ=ˉx
E(Yn∣X¯n=x¯)=v+π2−−√2π−−√(x¯−μ)=v+x¯−μ=x¯