Jakie jest prawdopodobieństwo, że rozkład normalny z nieskończoną wariancją ma wartość większą niż jego średnia?

13

W dzisiejszym wywiadzie zapytano mnie o coś podobnego do tego.

Ankieter chciał wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że opcja „za pieniądze” skończy się w pieniądzu, gdy zmienność zmierza do nieskończoności.

Powiedziałem 0%, ponieważ rozkłady normalne, które leżą u podstaw modelu Blacka-Scholesa i hipoteza losowego marszu będą miały nieskończoną wariancję. Pomyślałem, że prawdopodobieństwo wszystkich wartości wyniesie zero.

Mój ankieter powiedział, że prawidłowa odpowiedź to 50%, ponieważ normalny rozkład będzie nadal symetryczny i prawie jednolity. Kiedy więc zintegrujesz od średniej do + nieskończoności, otrzymasz 50%.

Nadal nie jestem przekonany co do jego uzasadnienia.

Kto ma rację?

normal-distribution variance

— głośniejszy
źródło

W rzeczywistości istnieje (słaby) limit rozkładów normalnych, gdy wariancja wzrasta do nieskończoności. Wiąże się z zakazanym nieskończenie małym 1 / Aleph (0). Możesz przeczytać mój artykuł o nieskończoności w Research Gate lub w Academia. Wpisz „H. Tomasz Grzybowski” w Google, przejdź do strony Brama badawcza z moimi artykułami, kliknij „Wkład” i znajdź ją.

— H. Tomasz Grzybowski

1

Witamy na naszej stronie, @ H.TomaszGrzybowski. Przekształciłem twój post na komentarz, ponieważ wiedziałem, że jeszcze nie zyskałeś reputacji, aby utworzyć komentarz, ale tak naprawdę nie odpowiada na pytanie i dlatego nie może pozostać jako odpowiedź. Interesujące byłoby przeczytanie rozwiązania tego problemu opartego na twoim pomyśle o nieskończonościach i słabym limicie. Czy nadal przybyć do wartości

czy też znaleźć wartość jest niezdefiniowana?

1 / 2

$1/2$

— whuber

13

Żadna z form rozumowania nie jest matematycznie rygorystyczna - nie ma czegoś takiego jak rozkład normalny z nieskończoną wariancją, ani nie ma ograniczającego rozkładu, gdy wariancja staje się duża - więc bądźmy ostrożni.

$t \to \infty$ $t$ $0$ $0$ $1/2$ $t \gt 0$ $1/2$

— Whuber
źródło

6

+1 Krótko mówiąc, fizyczne rozumowanie: dwa możliwe wyniki, idealnie symetryczne, i prawdopodobieństwa wszystkich możliwych wyników muszą sumować się do 1 - jedyną odpowiedzią może być 1/2 (-;

7

$X_1, X_2,\ldots, X_n$ $\mu$ $\sigma_n$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$ $\sigma_n\to \infty$

$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$ $\sigma_n$

Intuicyjnie, zamiast wyobrażać sobie rozkład normalny wariancji nieskończonej, powinieneś wyobrazić sobie rozkład wariancji skończonej i pracować z jego granicami.

— Brawo
źródło

-2

Powinieneś robić analizę w oparciu o logarytmiczny rozkład normalny, a nie normalny. Twój rozmówca się myli, gdy twierdzi, że rozkład jest symetryczny. Nigdy by tak nie było, niezależnie od wariancji. Musisz także odróżnić zmienność od tego, co nazywasz nieskończoną wariancją. Na przykład cena akcji nie ma górnego limitu, a zatem ma „nieskończoną wariancję”.

— Ralph Winters
źródło

2

Prawdą jest, że dotyczy to lognormalnej dystrybucji, ale nie trzeba jej wywoływać, jak pokazuje moja odpowiedź. Podstawowy rozkład normalny jest oczywiście symetryczny. Fakt, że cena akcji (lub cokolwiek innego) nie ma górnej granicy, nie oznacza, że jej dystrybucja ma nieskończoną wariancję. Nawiasem mówiąc, w teorii Blacka-Scholesa zmienność jest rzeczywiście parametrem wariancji (dla rozkładu logarytmów).

— whuber

rozważamy opcję, a nie zapasy.

— Wok

@wok Prawda, ale teoria zależy od rozkładu cen aktywów (akcji). Rozkład wartości opcji nie jest ani normalny, ani logarytmiczny.

— whuber