Dlaczego test F w Gaussowskich modelach liniowych jest najbardziej wydajny?

W przypadku Gaussowskiego modelu liniowego gdzie zakłada się, że leży w pewnej przestrzeni wektorowej a ma standardowy rozkład normalny na , statystyka testu dla , gdzie jest przestrzeń wektorową, to zwiększa się do jedną z funkcji odchyleń statystyki: Skąd możemy wiedzieć, że ta statystyka zapewnia najsilniejszy test dla $Y=\mu+\sigma G$ $\mu$ $W$ $G$ $\mathbb{R}^n$ $F$ $H_0\colon\{\mu \in U\}$ $U \subset W$

f = ϕ (2 \log \frac{sup_{μ \in W, σ > 0} L (μ, σ | y)}{sup_{μ \in U, σ > 0} L (μ, σ | y)}) .

$f=\phi\left( 2\log \frac{\sup_{\mu \in W, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)}{\sup_{\mu \in U, \sigma>0} L(\mu, \sigma | y)} \right).$

H_{0}

$H_0$ (może po odrzuceniu nietypowych szczególnych przypadków)? Nie wynika to z twierdzenia Neymana-Pearsona, ponieważ twierdzenie to twierdzi, że test współczynnika prawdopodobieństwa jest najsilniejszy w przypadku hipotez punktowych

H_{0} : {μ = μ_{0}, σ = σ_{0}}

$H_0\colon\{\mu=\mu_0, \sigma=\sigma_0\}$ i

H_{1} : {μ = μ_{1}, σ = σ_{1}}

$H_1\colon\{\mu=\mu_1,\sigma=\sigma_1\}$ .

— Stéphane Laurent
źródło

Rodziny MLR i twierdzenie Karlina-Rubina mogą być tutaj istotne.

— whuber

Możesz przepisać

H_{0} : μ \in U

$H_0: \mu\in U$ aby mieć postać taką jak

H_{0} : δ = 0

$H_0:\delta=\mathbf 0$ (w przeciwieństwie do alternatywy, że nie jest to 0). Zasadniczo

δ

$\delta$ będzie w odpowiednim podprzestrzeni ilorazowej

W / U

$W/U$

— Glen_b

@Glen_b A zatem masz na myśli, że twierdzenie Neymana-Pearsona zawiera wniosek?

— Stéphane Laurent

Nie jestem ekspertem od tego materiału i prawdopodobnie będzie coś ważnego, co przeoczyłem, ale myślę, że artykuł Neymana i Pearsona omawia hipotezy, które zawierają nieokreślone parametry inne niż te w teście; prawdopodobnie warto się temu przyjrzeć.

— Glen_b

Drogi @ StéphaneLaurent: Nie możemy tego wiedzieć, ponieważ to nieprawda.

— kardynał

Od jakiegoś czasu podążam za tym pytaniem, mając nadzieję, że ktoś, kto ma głębszy wgląd w klasyczną teorię testów, może wyjaśnić, dlaczego ten test nie jest jednakowo najmocniejszy w ogóle tak jak pisze w komentarzu @cardinal. To jest folklor, że najsilniejsze testy o jednolitych właściwościach mogą być konstruowane tylko dla jednostronnych hipotez dotyczących parametrów jednowymiarowych, ale taki komentarz tak naprawdę nie odpowiada na pytanie. $F$ $-$

Przykład 5.5 w statystykach teoretycznych Coxa i Hinkleya pokazuje, że test jest jednostajnie najsilniejszym podobnym testem dla średniej jednowymiarowej o nieznanej wariancji. Odnosząc się do technik zawartych w analizie wariancji Scheffé, ten sam przykład twierdzi, że test hipotezy na jednym parametrze w przypadku wielowymiarowym jest nadal niezwykle silnym podobnym testem z pozostałymi parametrami i wariancją jako parametrami uciążliwymi. Gdy kodimension wynosi 1, test jest równoważny testowi . $t$ $t$ $U$ $F$ $t$

Przykład 5.20, wciąż w Cox i Hinkley, rozważa jednokierunkową ANOVA. Argumentuje, że w przypadku co najmniej trzech grup nie ma jednoznacznie najpotężniejszego podobnego testu hipotezy, że nie ma różnic między grupami. Daje składniki za pokazanie, że -test nie jest jednostajnie najmocniejszy, ponieważ dla konkretnych alternatyw istnieją mocniejsze -tests. Test jest jednak najbardziej niezmiennie najbardziej niezmiennym testem niezmiennie . $F$ $t$ $F$

Co zatem oznacza podobne i niezmienne ? Zagnieżdżona sekwencja obszarów krytycznych dla testów wielkości nazywa się podobna, jeśli prawdopodobieństwo odrzucenia w ramach hipotezy wynosi (dla wszystkich możliwych wyborów uciążliwych parametrów). Test jest niezmienny, jeśli regiony krytyczne są niezmienne w grupie transformacji. Dla jednokierunkowej ANOVA grupa jest grupą przekształceń ortogonalnych. Polecam przeczytać rozdział 5 w Cox i Hinkley, aby uzyskać więcej informacji. Zobacz także rozdział 2.10 w książce Scheffé na temat optymalnych właściwości testu $\alpha \in [0,1]$ $\alpha$ $F$

— NRH
źródło