Intuicja za funkcją gęstości rozkładów T.

Studiuję o rozkładzie t-Studenta i zacząłem się zastanawiać, jak można wyprowadzić funkcję gęstości rozkładów t (z wikipedii, http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-distribution ):

gdzie to stopnie swobody, a to funkcja gamma. Jaka jest intuicja tej funkcji? Mam na myśli, że jeśli spojrzę na funkcję masy prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego, to ma to dla mnie sens. Ale funkcja gęstości rozkładów T nie ma dla mnie żadnego sensu ... na pierwszy rzut oka nie jest wcale intuicyjna. A może intuicja po prostu ma krzywą w kształcie dzwonu i spełnia nasze potrzeby?$v$$\Gamma$

Dziękujemy za wszelką pomoc :)

Jeśli masz standardową normalną zmienną losową i niezależną zmienną losową chi-kwadrat z df, toQ $Z$$Q$$\nu$

$T = Z/\sqrt{Q/\nu}$

ma rozkład z df. (Nie jestem pewien, jak jest dystrybuowany , ale to nie jest .)ν Z / Q $t$$\nu$$Z/Q$$t$

Faktyczne wyprowadzenie jest dość standardowym wynikiem. Alecos robi to kilka sposobów tutaj .

Jeśli chodzi o intuicję, nie mam szczególnej intuicji dla konkretnej formy funkcjonalnej, ale pewne ogólne wyczucie kształtu można uzyskać, biorąc pod uwagę, że niezależny rozkład chi w mianowniku (skalowany przez ) jest właściwy ukośnie:$\sqrt \nu$

Tryb jest nieco poniżej 1 (ale zbliża się do 1 wraz ze wzrostem df), z pewną szansą na wartości znacznie powyżej i poniżej 1. Zmiana w oznacza, że ​​wariancja będzie większa niż że wśród . Wartości znacznie powyżej 1 doprowadzi do wartość X, która jest bliższa 0 wówczas jest, gdy te znacznie poniżej 1 spowoduje wartość X, która jest dalej od 0 wówczas jest. tZ$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$ tZt$\sqrt{Q/\nu}$$t$$Z$$t$$Z$

Wszystko to oznacza, że wartości będą (i) bardziej zmienne, (ii) względnie bardziej pikowane i (iii) cięższe niż w normie. Gdy df rośnie, koncentruje się wokół 1, a następnie będzie bliżej normy.$t$$\sqrt{Q/\nu}$$t$

(„relatywnie bardziej szczytowy” powoduje nieco ostrzejszy pik w stosunku do rozpiętości, ale większa wariancja pociąga środek w dół, co oznacza, że ​​pik jest nieco niższy przy niższym df)

To jest trochę intuicji na temat tego, dlaczego wygląda tak, jak wygląda.$t$

Odpowiedź Glena jest prawidłowa, ale z punktu widzenia Bayesa pomocne jest również myślenie o rozkładzie t jako ciągłej mieszaninie rozkładów normalnych z różnymi wariancjami. Możesz znaleźć pochodną tutaj:

Student t jako mieszanka gaussa

Uważam, że takie podejście pomaga intuicji, ponieważ wyjaśnia, w jaki sposób powstaje rozkład t, gdy nie znasz dokładnej zmienności populacji.