Rozkład Cauchy'ego i centralne twierdzenie graniczne

Aby CLT mógł się utrzymać, potrzebujemy rozkładu, który chcemy w przybliżeniu mieć średnią i wariancję skończoną . Czy prawdą byłoby stwierdzenie, że w przypadku rozkładu Cauchy'ego, którego średnia i wariancja są niezdefiniowane, Centralne Twierdzenie Graniczne nie zapewnia dobrego przybliżenia nawet asymptotycznie? $\mu$ $\sigma^2$

— JohnK
źródło

Tak, to się nie udaje. Średnią próbką Iid Cauchy'ego jest ponownie Cauchy z tym samym rozkładem. Zatem jeśli pomnożysz próbkę przez pierwiastek

jak w CLT, otrzymasz rozkład z nieskończonym rozkładem zamiast ładnej krzywej Gaussa.

n

$n$

— Michael M

$n$ $n$

Zatem nie otrzymujesz ani granicy Gaussa, ani zmniejszenia dyspersji związanego z twierdzeniem o granicy centralnej.

— Henz
źródło

Jest to znormalizowana zmienna, która następuje CLT, a nie zmienna sama w sobie.

— JohnK

0

$0$

1

$1$

1 / \sqrt{n}

$1/\sqrt{n}$