Suma dwóch normalnych produktów to Laplace?

Najwyraźniej jest tak, że jeśli , to $X_i \sim N(0,1)$

$X_1 X_2 + X_3 X_4 \sim \mathrm{Laplace(0,1)}$

Widziałem artykuły na temat dowolnych kwadratowych form, które zawsze skutkują okropnymi niecentralnymi wyrażeniami chi-kwadrat.

Powyższa prosta relacja nie wydaje mi się wcale oczywista, więc (jeśli to prawda!) Czy ktoś ma na to prosty dowód?

— Corone
źródło

Elementarna sekwencja kroków z wykorzystaniem dobrze znanych zależności między rozkładami i prosta tożsamość polaryzacji algebraicznej zapewniają elementarną i intuicyjną demonstrację.

Odkryłem, że ta tożsamość polaryzacji jest ogólnie przydatna do rozumowania i obliczania produktów zmiennych losowych, ponieważ redukuje je do liniowych kombinacji kwadratów. To trochę jak praca z macierzami poprzez ich przekątne w pierwszej kolejności. (Jest tu coś więcej niż powierzchowne połączenie).

Rozkład Laplace'a to różnica dwóch wykładniczych (co intuicyjnie ma sens, ponieważ wykładniczy jest rozkładem „pół-Laplace'a”). (Link pokazuje to poprzez manipulowanie charakterystycznymi funkcjami, ale relację można udowodnić za pomocą elementarnej integracji wynikającej z definicji różnicy jako splot.)

Rozkład wykładniczy (który sam jest rozkładem ) jest również (skalowana wersja a) . Współczynnik skali wynosi . Można to łatwo zauważyć porównując pliki PDF obu dystrybucji. $\Gamma(1)$ $\chi^2(2)$ $1/2$

$\chi^2$ Rozkłady są otrzymywane naturalnie jako sumy kwadratów iid Rozkładów normalnych (o średnich zerowych). Stopnie swobody liczą liczbę rozkładów normalnych w sumie. $2$

Relacja algebraiczna

X_{1} X_{2} + X_{3} X_{4} = [{(\frac{X_{1} + X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} + X_{4}}{2})}^{2}] - [{(\frac{X_{1} - X_{2}}{2})}^{2} + {(\frac{X_{3} - X_{4}}{2})}^{2}]

$X_1X_2 + X_3X_4 = \left[\left(\frac{X_1+X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3+X_4}{2}\right)^2\right] - \left[\left(\frac{X_1-X_2}{2}\right)^2 + \left(\frac{X_3-X_4}{2}\right)^2\right]$

wykazuje pod względem kwadratów czterech rozkładów, z których każdy jest liniową kombinacją standardowych norm. Łatwo jest sprawdzić, czy wszystkie cztery kombinacje liniowe są liniowo niezależne (i każda ma rozkład normalny ). Zatem dwa pierwsze warunki, które sumują kwadraty dwóch identycznie rozmieszczonych rozkładów normalnych średniej zera, tworzą skalowany (i jego współczynnik skalowania jest dokładnie tym, co jest potrzebne, aby przekształcić go w rozkład wykładniczy), a dwa pozostałe terminy niezależnie mają również rozkład wykładniczy z tego samego powodu. $X_1X_2 + X_3X_4$ $(0,\sqrt{1/2})$ $\chi^2(2)$ $\sqrt{1/2}\ ^2=1/2$

Dlatego , będące różnicą dwóch niezależnych rozkładów wykładniczych, ma (standardowy) rozkład Laplace'a. $X_1X_2+X_3X_4$

— Whuber
źródło

To jest absolutnie zachwycające!

— Corone,

Właśnie zauważyłem, że kolejna odpowiedź, oparta na funkcjach generujących moment, pojawia się na stronie stats.stackexchange.com/a/51717/919 : patrz akapit na początku „przypadkowo” (inna nazwa dla rozkładu Laplace'a to „dwuwykładniczy” ). Wątek ten dotyczy MGF uogólnienia niniejszego pytania.

— whuber

Ładne wyprowadzenie, ale skąd wiesz, że różnica dwóch niezależnych wykładniczych zmiennych rozkładowych ma rozkład Laplaciana?

— HelloGoodbye

@Hello Proszę użyć linku: prowadzi do artykułu w Wikipedii, który zawiera krótką demonstrację.

— whuber

$X\sim \mathrm{Laplace}(0,1)$

ϕ_{X} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}

$\phi_X(t) = \frac{1}{1+t^2}$

— Michael M.
źródło