Metoda Z-score Stouffera: co jeśli sumujemy zamiast ?

Przeprowadzam niezależnych testów statystycznych z tą samą hipotezą zerową i chciałbym połączyć wyniki w jedną wartość . Wydaje się, że istnieją dwie „akceptowane” metody: metoda Fishera i metoda Stouffera .$N$$p$

Moje pytanie dotyczy metody Stouffera. Dla każdego osobnego testu otrzymuję wynik Z- $z_i$ . Zgodnie z hipotezą zerową, a każdy z nich jest rozprowadzany z rozkładu normalnego, to suma $\Sigma z_i$ wynika z rozkładu normalnego o wariancji $N$ . Dlatego metoda Stouffera sugeruje obliczenie $\Sigma z_i / \sqrt{N}$ , które powinny być normalnie rozłożone z wariancją jednostkową, a następnie użyć tego jako łącznego wyniku Z.

To rozsądne, ale oto inne podejście, które wymyśliłem i które dla mnie również brzmi rozsądnie. Ponieważ każdy z $z_i$ pochodzi ze standardowego rozkładu normalnego, suma kwadratów $S=\Sigma z^2_i$ powinna pochodzić z rozkładu chi-kwadrat o $N$ stopniach swobody. Można więc obliczyć $S$ i przekonwertować go na wartość $p$ za pomocą skumulowanej funkcji rozkładu chi-kwadrat o $N$ stopniach swobody ( $p=1−X_N(S)$ , gdzie $X_N$ to CDF).

Jednak nigdzie nie mogę znaleźć takiego podejścia. Czy kiedykolwiek był używany? Czy to ma imię? Jakie byłyby zalety / wady w porównaniu z metodą Stouffera? A może w moim rozumowaniu jest jakaś wada?

Jedną z wad, która wyskakuje, jest metoda Stouffera, która może wykryć systematyczne przesunięcia w , czego zwykle można się spodziewać, gdy jedna alternatywa jest konsekwentnie prawdziwa, podczas gdy metoda chi-kwadrat wydaje się mieć mniejszą moc do tego. Szybka symulacja pokazuje, że tak jest; metoda chi-kwadrat jest mniej skuteczna w wykrywaniu jednostronnej alternatywy. Oto histogramy wartości p obiema metodami (czerwony = Stouffer, niebieski = Chi-kwadrat) w 10 5 niezależnych powtórzeń o N = 10 i różnych jednostronnie standaryzowanych efektów jj, począwszy od zera ( μ = 0 ) przez 0,6 SD ( μ $z_i$$10^5$$N=10$$\mu$$\mu=0$$0.6$ ).$\mu=0.6$

Lepsza procedura będzie miała większy obszar bliski zeru. Dla wszystkich pokazanych dodatnich wartości procedura ta jest procedurą Stouffera.$\mu$

Kod R.

Obejmuje to metodę Fishera (skomentowaną) do porównania.

n <- 10
n.iter <- 10^5
z <- matrix(rnorm(n*n.iter), ncol=n)

sim <- function(mu) {
  stouffer.sim <- apply(z + mu, 1, 
                    function(y) {q <- pnorm(sum(y)/sqrt(length(y))); 2*min(q, 1-q)})
  chisq.sim <- apply(z + mu, 1, 
                    function(y) 1 - pchisq(sum(y^2), length(y)))
  #fisher.sim <- apply(z + mu, 1,
  #                  function(y) {q <- pnorm(y); 
  #                     1 - pchisq(-2 * sum(log(2*pmin(q, 1-q))), 2*length(y))})
  return(list(stouffer=stouffer.sim, chisq=chisq.sim, fisher=fisher.sim))
}

par(mfrow=c(2, 3))
breaks=seq(0, 1, .05)
tmp <- sapply(c(0, .1, .2, .3, .4, .6), 
              function(mu) {
                x <- sim(mu); 
                hist(x[[1]], breaks=breaks, xlab="p", col="#ff606060",
                     main=paste("Mu =", mu)); 
                hist(x[[2]], breaks=breaks, xlab="p", col="#6060ff60", add=TRUE)
                #hist(x[[3]], breaks=breaks, xlab="p", col="#60ff6060", add=TRUE)
                })

Jednym z ogólnych sposobów na uzyskanie wglądu w statystyki testowe jest wyprowadzenie (zwykle domyślnych) podstawowych założeń, które doprowadziłyby do tego, że statystyka testowa jest najsilniejsza. W tym konkretnym przypadku student i ja niedawno to zrobiliśmy: http://arxiv.org/abs/1111.1210v2 (poprawiona wersja pojawi się w Annals of Applied Statistics).

Bardzo krótko streszczając (i zgodnie z wynikami symulacji w innej odpowiedzi) metoda Stouffera będzie najsilniejsza, gdy „prawdziwe” podstawowe efekty będą równe; suma Z ^ 2 będzie najsilniejsza, gdy podstawowe efekty są normalnie rozmieszczone około 0. Jest to niewielkie uproszczenie, które pomija szczegóły: więcej informacji można znaleźć w sekcji 2.5 przedruku arxiv połączonego powyżej.

Nieznacznie o / t: jednym z problemów w obu tych podejściach jest utrata mocy z powodu stopni swobody (N dla stouffera; 2N dla Fishera). Opracowano w tym celu lepsze podejścia metaanalityczne, które warto rozważyć (na przykład metaanaliza ważona odwrotnością wariancji).

Jeśli szukasz dowodów na alternatywne testy w grupie, możesz spojrzeć na statystyki dotyczące większej krytyki Donoho i Jina: https://projecteuclid.org/euclid.aos/1085408492

Aby odpowiedzieć na pytanie i dla dalszych czytelników: czy kiedykolwiek był używany ?, istnieje wyczerpujący artykuł Cousins ​​(2008) na temat arXiv, w którym wymieniono i oceniono kilka alternatywnych podejść. Proponowany wydaje się nie pojawiać.